Calcul matriciel : résolution de systèmes linéaires

Légende de la leçon

Vert : définitions

I. Concepts fondamentaux du calcul matriciel

Pour aborder la résolution de systèmes linéaires, il est crucial de maîtriser les concepts de base en calcul matriciel.

• Matrice : une matrice est un arrangement rectangulaire de nombres, symboles, ou expressions, disposés en lignes et colonnes. Chaque élément de la matrice est appelé entrée ou élément de la matrice.
• Vecteur : un cas spécial de matrice, ayant une seule colonne (vecteur colonne) ou une seule ligne (vecteur ligne).
• Système linéaire : un ensemble d'équations linéaires. Par exemple, un système de deux équations à deux inconnues s'écrit généralement comme :
  $a_1x + b_1y = c_1$
  $a_2x + b_2y = c_2$

II. Représentation matricielle des systèmes linéaires

Un système linéaire peut être représenté sous forme de matrice. La forme générale est $AX = B$.

• $A$ : matrice des coefficients, où chaque élément représente le coefficient d'une variable dans une équation.
• $X$ : vecteur des inconnues, contenant les variables du système.
• $B$ : vecteur constant, représentant les termes constants de chaque équation.

III. Méthodes de résolution

1) Méthode de substitution

C'est une méthode basique, souvent enseignée au niveau secondaire. Elle consiste à isoler une variable dans une des équations, puis à substituer cette expression dans les autres équations.

2) Méthode d'élimination de Gauss (Gauss-Jordan)

Cette méthode transforme la matrice en une forme où les solutions sont facilement identifiables.

• Étape 1 : Obtiens une forme échelonnée. Cela implique de rendre les éléments sous la diagonale principale nuls, en utilisant des opérations élémentaires sur les lignes.
• Étape 2 : (Gauss-Jordan) Poursuis jusqu'à obtenir une forme échelonnée réduite, où la diagonale principale est également normalisée (éléments diagonaux égaux à 1).
• Étape 3 : Les solutions peuvent être lues directement si la matrice est échelonnée réduite.

3) Règle de Cramer

Applicable uniquement pour les systèmes carrés (nombre d'équations égal au nombre d'inconnues) avec un déterminant non nul. La solution de chaque variable est donnée par le rapport du déterminant d'une matrice modifiée et le déterminant de la matrice des coefficients.

4) Méthode de la matrice inverse

Si la matrice $A$ est inversible (déterminant non nul), alors $X = A^{(-1)}B$. Le calcul de l'inverse peut être complexe pour de grandes matrices.

IV. Considérations additionnelles

• Déterminant : le déterminant d'une matrice fournit des informations importantes sur le système. Un déterminant nul suggère soit aucune solution, soit une infinité de solutions.
• Outils informatiques : pour des systèmes complexes ou de grandes tailles, des logiciels spécialisés comme MATLAB, Python (avec des bibliothèques comme NumPy), ou des calculatrices graphiques sont souvent utilisés.

V. Exemple détaillé : méthode d'élimination de Gauss

Prenons le système suivant :

$2x + 3y = 5$
$4x + 6y = 10$

Prenons le système suivant :

$A = \left \lbrack \begin{array}{ccc} 2 & 3 \\ 4 & 6 \\ \end{array} \right \rbrack$ , $X = \left \lbrack \begin{array}{ccc} x \\ y \\ \end{array} \right \rbrack$, $B = \left \lbrack \begin{array}{ccc} 5 \\ 10 \\ \end{array} \right \rbrack$

La méthode de Gauss consiste à transformer $A$ en une forme échelonnée :

1. Multiplie la première ligne par un facteur pour que le premier élément de la seconde ligne devienne nul par soustraction.
2. Répète le processus pour les lignes suivantes.
3. Une fois la forme échelonnée obtenue, utilise la substitution arrière pour trouver les valeurs de $x$ et $y$.

Je retiens

Représentation matricielle : $AX = B$ est la forme matricielle standard pour un système linéaire.

Méthodes de résolution : substitution, élimination de Gauss, règle de Cramer, et matrice inverse.

Déterminant : un élément clé pour déterminer l'existence et l'unicité des solutions.

Informatique : Des outils informatiques sont recommandés pour des systèmes de grande taille ou complexes.