Apprendre à résoudre une équation

Rappel : expression littérale = expression qui utilise une ou plusieurs lettres

I. Équations

Définition :

Une équation est une égalité de deux expressions littérales.

Exemple :
$2x - 3 = 5$ est une équation.

Les membres de l'équation sont les expressions littérales avant et après le signe égal (=)

Dans l'exemple précédent, le premier membre est $2x - 3$ et le second membre est $5$.

Une équation est à une inconnue si les expressions littérales ne contiennent qu'une lettre différente.

Autre exemple :
L'équation précédente avait une inconnue notée $x$.
L'équation $2x - 3 = -7y + 2$ a deux inconnues $x$ et $y$.

II. Solution d'une équation

Définition :

Un nombre est solution de l'équation à une inconnue si c'est une valeur de l'inconnue qui vérifie l'égalité.

Exemple :
L'expression $2x - 3$ pour $x = 1$ est égale à $2 \times 1 - 3 = -1$
$1$ n'est donc pas solution de $2x - 3 = 5$

L'expression $2x - 3$ pour $x = 4$ est égale à $2 \times 4 - 3 = 8 - 3 = 5$
$4$ est une solution de $2x - 3 = 5$

III. Degré d'une équation

Dans l'exemple $2x - 3 = 5$, la lettre $x$ n'a pas de puissance.
On dit que l'équation est du premier degré.
L'équation $x^2 + x - 3 = 5$ a une puissance 2, elle est du second degré.
En quatrième, on ne s'intéressera qu'aux équations du premier degré à une inconnue.

IV. Propriétés permettant de résoudre une équation

Définition :

Résoudre une équation, c'est trouver tous les nombres qui sont solutions de l'équation.

Ajouter ou retrancher un même nombre aux deux membres :

Si on ajoute ou si on soustrait le même nombre ou la même expression aux deux membres d'une équation, on obtient une nouvelle équation qui a les mêmes solutions.
Avec $a$, $b$, $c$ nombres relatifs :
Si $a = b$, alors $a + c = b + c$
Si $a = b$, alors $a - c = b - c$

Multiplier ou diviser les deux membres par un nombre non nul :

Si on multiplie ou si on divise les deux membres d'une équation par le même nombre non nul, on obtient une nouvelle équation qui a les mêmes solutions.
Avec $a$, $b$, $c$ nombres relatifs et $c$ différent de $0$ :
Si $a = b$, alors $a \times c = b \times c$
Si $a = b$, alors $\dfrac{a}{c} = \dfrac{b}{c}$

Exemple expliqué pas à pas :
On veut résoudre l'équation $4x + 3 = x - 9$

a) Retirons $x$ aux deux membres de l'équation :
$4x + 3 - x = x - 9 - x$

On réduit les deux membres, on obtient la nouvelle équation :
$3x + 3 = -9$

b) Retirons $3$ aux deux membres de l'équation :
$3x + 3 - 3 = -9 - 3$

c) Simplifions chaque membre :
$3x = -12$

d) Divisons par $3$ (qui n'est pas nul) les deux membres de l'équation :
$\dfrac{3x}{3} = \dfrac{-12}{3}$

$x = -4$

Conclusion : l'équation $4x + 3 = x - 9$ a pour solution $x = -4$

V - Résolution d'un problème : comment faire ?

Certains problèmes demandent de trouver un nombre qui vérifie les données de l'énoncé.
a) Si l'énoncé ne le précise pas, il faut introduire une lettre désignant le nombre inconnu et le préciser : « On appelle $x$ le ... »

b) Traduire la ou les informations de l'énoncé en égalité mathématique pour obtenir l'équation.

c) Résoudre l'équation.

d) Écrire une phrase de conclusion (très important !)

VI. Exemple corrigé

Dans sa ferme, le Père Étienne a des vaches adultes, des taurillons et des jeunes génisses. Il a 2 fois plus de génisses que de taurillons, et 3 fois plus de vaches que de taurillons. En tout, il a 54 bêtes. Combien a-t-il de vaches, de taurillons et de génisses ?

Solution :

a) On appelle $x$ le nombre de taurillons (on aurait pu choisir le nombre de vaches ou de génisses).

b) « Il a 2 fois plus de génisses que de taurillons » donne que le nombre de génisses est $2x$
« 3 fois plus de vaches que de taurillons » donne que le nombre de vaches est $3x$
« En tout, il a 54 bêtes » donne l’équation :

c) On résout $x + 2x + 3x = 54$
$6x = 54$ (j'ai réduit)
$\dfrac{6x}{6} = \dfrac{54}{6}$ (je divise par $6$ les deux membres)
$x = 9$

d) Conclusion : le Père Étienne a $9$ taurillons, $18$ génisses et $27$ vaches adultes.