Addition et soustraction de nombres relatifs

⚠️ On ne peut pas mettre deux signes l'un derrière l'autre en mathématiques.

Exemple : "$+-2$" ne veut rien dire, "$-+3$" non plus.

Pour éviter cela, on met les nombres relatifs entre parenthèses.

On peut écrire $+(-2)$ ou bien $-(+3)$.

I. Addition de nombres relatifs

Pour additionner deux nombres relatifs de même signe :

• le résultat a le signe commun aux deux nombres

• on additionne leur distance à zéro

Exemples : $(+3,4) + (+7,1) = +10,5$

$(-7,2) + (-4,1) = -11,3$

Pour additionner deux nombres relatifs de signe contraire :

• le résultat a le signe de la plus grande distance à zéro

• on soustrait la plus petite distance à zéro à la plus grande

Exemple 1 : $(+4) + (-7,1) = -3,1$
Explications : la plus grande distance à zéro est $7,1$.

7,1 est négatif, le résultat sera donc négatif.

Ensuite, on soustrait la plus petite distance à zéro de la plus grande, c'est-à-dire : $7,1 - 4$

Exemple 2 : $(-3,4) + (+18) = +14,6$
Explications : la plus grande distance à zéro est $18$.

$18$ est positif, le résultat sera donc positif.

Ensuite on soustrait la plus petite distance à zéro de la plus grande, c'est-à-dire $18 - 3,4$.

II. Soustraction de deux nombres relatifs

Pour soustraire un nombre relatif, on additionne son opposé.

Exemple 1 : calculer $(+3) - (+7)$

L'opposé de $+7$ est $-7$.

Pour calculer $(+3) - (+7)$ , j'ajoute l'opposé de $(+7)$ qui est $(-7)$.

$(+3) - (+7)=(+3)+(-7)=-4$

Exemple 2 : calculer $(-7) - (-4)$.

$(-7) - (-4) = (-7) + (+4) = -3$

Une image :

III. Écritures simplifiées des nombres positifs

On supprime les parenthèses et le signe + des nombres positifs.

Exemples : $(+5) = 5$ ; $(+7) = 7$

On supprime les parenthèses du premier nombre relatif d'une somme ou d'une différence.

Exemples : $(+3) - (+7) = 3 - (+7)=3-7=-4$

$(-7) - (-4) = -7 -(-4)=-7+4=-3$

IV. Les parenthèses sont prioritaires

Calculer la valeur de $A$.
$\small A = (-3 + 6,9) - (4 + 0,5 - 8) + (10 - 7) - (-1 + 5)$

$\checkmark$ : $-3 + 6,9=+3,9$

$\checkmark$ : $4+0,5-8=4,5-8=-3,5$

$\checkmark$ : $10-7=+3$

$\checkmark$ : $-1+5=+4$

$A=+3,9-3,5+3+4=0,4+3+4=7,4$

V. Exemples corrigés

$1.$ Exemple 1

Compléter les phrases suivantes :
a) L'opposé de $+6,5$ est ...
b) L'opposé de $-3$ est ...
c) L'opposé de $25,7$ est ...
d) L'opposé de $-36$ est ...

$2.$ Exemple 2

Calculer :
$\checkmark$ : $13 + 4,5 =$
$\checkmark$ : $-13 + (-4,5) =$
$\checkmark$ : $(-8) - (+3,5) =$
$\checkmark$ : $(+75) + (+11,50) =$
$\checkmark$ : $(-75) + (-11,50) =$
$\checkmark$ : $(+80,30) + (-10) =$
$\checkmark$ : $(+16) + (-53) =$

$3.$ Exemple 3

Calculer la valeur de $B$.
$\small B = [(-3 + 9) - (5,2 - 7)] - [(-2 - 15) + (-1 + 3,4)]$

(Quand on veut mettre plusieurs séries de parenthèses, on peut parfois les remplacer par des crochets pour faciliter la lecture)

Solutions

Exemple 1 :

L'opposé de +6,5 est -6,5.
L'opposé de -3 est +3.
L'opposé de 25,7 est -25,7.
L'opposé de -36 est +36.

Exemple 2

$\checkmark$ : $13 + 4,5 = 17,5$
$\checkmark$ : $-13 + (-4,5) = -17,5$
$\checkmark$ : $-8 - (+3,5) = -8 + (-3,5) = -11,5$
$\checkmark$ : $+75 + +11,50 = 75 + 11,5 = 86,5$
$\checkmark$ : $-75 + -11,50 = -86,5$
$\checkmark$ : $+80,30 + -10 = 80,3 - 10 = 70,3$
$\checkmark$ : $+16 + -53 = -37$

Exemple 3

$\small B = [(-3 + 9) - (5,2 - 7)] - [(-2 - 15) + (-1 + 3,4)]$

$\small B = (-3 + 9) - (5,2 - 7) - [(-2 - 15) + (-1 + 3,4)]$
$B = 6 - (-1,8) - (-17 + 2,4)$
$B = 6 + 1,8 - (-14,6)$
$B = 7,8 + 14,6$
$B = 22,4$