Variables, Simulations et Accumulations

Partie A

Pour tout entier naturel $n\ge 1$, on note :

$\checkmark\quad\quad V_n$ l’événement : « la n-ième machine détient la valeur $1$ » ;

$\checkmark\quad\quad \overline{V_n}$ l’événement : « la n-ième machine détient la valeur $0$ ».

1. a) Arbre de probabilité illustrant la situation.

La première machine reçoit toujours la valeur $1$.
D’où la position de $V_1$.

La transmission est fidèle dans $90$ des cas.
D’où les branches $V_1-V_2$ et $V_2-V_3$ sont pondérées par $0,9$.

La transmission est contraire dans $10$ des cas.
D’où les branches $V_1-\overline{V_2}$ et $\overline{V_2}-V_3$ sont pondérées par $0,1$.

Nous obtenons ainsi l’arbre pondéré ci-dessous.

👉 Conseil : toujours commencer par placer l’événement certain au premier niveau de l’arbre.

1. b)
   Nous devons démontrer que $P(V_3)=0,82$ et interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.

Les événements $V_2$ et $\overline{V_2}$ forment une partition de l’univers.

En utilisant la formule des probabilités totales, nous obtenons :

$P(V_3)=P(V_2\cap V_3)+P(\overline{V_2}\cap V_3)$
$=P(V_2)\times P_{V_2}(V_3)+P(\overline{V_2})\times P_{\overline{V_2}}(V_3)$
$=0,9\times0,9+0,1\times0,1$
$=0,82$

$\Longrightarrow\boxed{P(V_3)=0,82}$

Par conséquent, la probabilité que la troisième machine détienne la valeur $1$ est égale à $0,82$.

👉 Conseil : vérifier que les probabilités sortant d’un même nœud de l’arbre ont une somme égale à $1$.

1. c)
   Sachant que la troisième machine a reçu la valeur $1$, nous devons calculer la probabilité que la deuxième machine ait aussi reçu la valeur $1$.

Nous devons donc calculer $P_{V_3}(V_2)$.

$P_{V_3}(V_2)=\dfrac{P(V_2\cap V_3)}{P(V_3)}$
$=\dfrac{P(V_2)\times P_{V_2}(V_3)}{P(V_3)}$
$=\dfrac{0,9\times0,9}{0,82}$
$=\dfrac{0,81}{0,82}=\dfrac{81}{82}$
$\approx0,988$

$\Longrightarrow\boxed{P_{V_3}(V_2)\approx0,988}$

Par conséquent, sachant que la troisième machine a reçu la valeur $1$, la probabilité que la deuxième machine ait aussi reçu la valeur $1$ est environ égale à $0,988$.

👉 Conseil : dans une probabilité conditionnelle, bien identifier l’événement sur lequel on conditionne.

Pour tout entier naturel $n\ge 1$, on note $p_n=P(V_n)$.

2. a)
   Nous devons démontrer que pour tout entier $n\ge 1$ : $p_{n+1}=0,8,p_n+0,1$.

Les événements $V_n$ et $\overline{V_n}$ forment une partition de l’univers.

En utilisant la formule des probabilités totales, nous obtenons :

$P(V_{n+1})=P(V_n\cap V_{n+1})+P(\overline{V_n}\cap V_{n+1})$
$=P(V_n)\times P_{V_n}(V_{n+1})+P(\overline{V_n})\times P_{\overline{V_n}}(V_{n+1})$
$=p_n\times0,9+(1-p_n)\times0,1$
$=0,9p_n+0,1-0,1p_n$
$=0,8p_n+0,1$

$\Longrightarrow\boxed{p_{n+1}=0,8p_n+0,1}$

👉 Conseil : penser à développer correctement l’expression $(1-p_n)\times0,1$.

2. b)
   Nous admettons que pour tout entier naturel $n\ge1$, $p_n=0,5\times0,8^{,n-1}+0,5$.

3. 
   Nous devons calculer la limite de $p_n$ lorsque $n$ tend vers l’infini et interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.

$0<0,8<1\quad\Longrightarrow\quad \lim\limits_{n\to+\infty}0,8^{,n-1}=0$
$\Longrightarrow\quad \lim\limits_{n\to+\infty}\big(0,5\times0,8^{,n-1}+0,5\big)=0,5$
$\Longrightarrow\quad\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}p_n=0,5}$

Cela signifie que si le nombre de machines transmettant une donnée à une autre machine est très élevé, soit à très long terme, la dernière machine détiendra la valeur $1$ avec une probabilité proche de $50$.

Partie B

Pour modéliser en langage Python la transmission de la donnée binaire décrite en début d’exercice, on considère la fonction $\texttt{simulation}$ qui prend en paramètre un entier naturel $n$ qui représente le nombre de transmissions réalisées d’une machine à une autre, et qui renvoie la liste des valeurs successives de la donnée binaire.

On donne ci-dessous le script incomplet de cette fonction.

Nous devons déterminer le rôle des instructions des lignes 5 et 6 de l’algorithme ci-dessus.

Ligne 5 : l’instruction $\texttt{rand()}$ renvoie un nombre aléatoire de l’intervalle $[0;1[$.

Cette ligne 5 teste si un nombre aléatoire appartient à l’intervalle $[0;0,1[$.

L’amplitude de l’intervalle $[0;0,1[$ est égale à $0,1$ fois l’amplitude de l’intervalle $[0;1[$.

Dès lors, ce nombre aléatoire appartiendra à l’intervalle $[0;0,1[$ avec une probabilité de $0,1$.

Donc si la ligne 5 est exécutée, nous sommes dans le cas d’une transmission contraire.

Ligne 6 :
Dans le cas où ce nombre appartient à l’intervalle $[0;0,1[$, le rôle de la ligne 6 est de permuter la valeur de la donnée en passant de $0$ à $1$ ou de $1$ à $0$.

👉 Conseil : relier systématiquement un test aléatoire à une probabilité.

Nous devons calculer la probabilité que $\texttt{simulation}(4)$ renvoie la liste $[1,1,1,1,1]$ et la probabilité que $\texttt{simulation}(6)$ renvoie la liste $[1,0,1,0,0,1,1]$.

La probabilité que $\texttt{simulation}(4)$ renvoie la liste $[1,1,1,1,1]$ correspond à
$P(V_2\cap V_3\cap V_4\cap V_5)$.

$P(V_2\cap V_3\cap V_4\cap V_5)=0,9\times0,9\times0,9\times0,9$
$=0,9^4$
$=0,6561$

$\Longrightarrow\boxed{P(V_2\cap V_3\cap V_4\cap V_5)=0,6561}$

D’où la probabilité que $\texttt{simulation}(4)$ renvoie la liste $[1,1,1,1,1]$ est environ égale à $0,656$ (valeur arrondie à $10^{-3}$ près).

La probabilité que $\texttt{simulation}(6)$ renvoie la liste $[1,0,1,0,0,1,1]$ correspond à
$P(\overline{V_2}\cap\overline{V_3}\cap\overline{V_4}\cap V_5\cap\overline{V_6}\cap V_7)$.

$=0,1\times0,1\times0,1\times0,9\times0,1\times0,9$
$=0,1^4\times0,9^2$
$=0,000081$

$\Longrightarrow\boxed{0,000081}$

D’où la probabilité que $\texttt{simulation}(6)$ renvoie la liste $[1,0,1,0,0,1,1]$ est environ égale à $0$ (valeur arrondie à $10^{-3}$ près).