Notion de liste

Un étudiant mange tous les jours au restaurant universitaire. Ce restaurant propose des plats végétariens et des plats non végétariens.

Lorsqu’un jour donné l’étudiant a choisi un plat végétarien, la probabilité qu’il choisisse un plat végétarien le lendemain est $0,9$.

Lorsqu’un jour donné l’étudiant a choisi un plat non végétarien, la probabilité qu’il choisisse un plat végétarien le lendemain est $0,7$.

Pour tout entier naturel $n$, on note $V_n$ l’événement « l’étudiant a choisi un plat végétarien le $n^{\text{i`eme}}$ jour » et $p_n$ la probabilité de $V_n$.

Le jour de la rentrée, l’étudiant a choisi le plat végétarien. On a donc $p_1 = 1$.

1. a)
   Nous devons indiquer la valeur de $p_2$.

Selon l’énoncé, « lorsqu’un jour donné l’étudiant a choisi un plat végétarien, la probabilité qu’il choisisse un plat végétarien le lendemain est $0,9$.
Le jour de la rentrée, l’étudiant a choisi le plat végétarien. »

Le lendemain, la probabilité qu’il choisisse un plat végétarien est donc $0,9$.

D’où $\boxed{p_2 = 0,9}$.

👉 Conseil : bien identifier l’état du jour précédent avant d’utiliser la probabilité donnée.

1. b)
   Nous devons montrer que $p_3 = 0,88$.

Arbre pondéré modélisant la situation.

Les événements $V_2$ et $\overline{V_2}$ forment une partition de l’univers.

En utilisant la formule des probabilités totales, nous obtenons :

$P(V_3)=P(V_2\cap V_3)+P(\overline{V_2}\cap V_3)$
$=P(V_2)\times P_{V_2}(V_3)+P(\overline{V_2})\times P_{\overline{V_2}}(V_3)$
$=0,9\times 0,9+0,1\times 0,7$
$=0,88$

$\Longrightarrow \boxed{P(V_3)=0,88}$

👉 Conseil : pense toujours à vérifier que les événements utilisés forment bien une partition.

1. c)
   Sachant que le 3e jour l’étudiant a choisi un plat végétarien, déterminons la probabilité qu’il ait choisi un plat non végétarien le jour précédent, soit $P_{V_3}(\overline{V_2})$.

$P_{V_3}(\overline{V_2})=\dfrac{P(\overline{V_2}\cap V_3)}{P(V_3)}$
$=\dfrac{P(\overline{V_2})\times P_{\overline{V_2}}(V_3)}{P(V_3)}$
$=\dfrac{0,1\times 0,7}{0,88}$
$=\dfrac{0,07}{0,88}\approx 0,080$

$\Longrightarrow \boxed{P_{V_3}(\overline{V_2})\approx 0,080}$

Par conséquent, sachant que le 3e jour l’étudiant a choisi un plat végétarien, la probabilité qu’il ait choisi un plat non végétarien le jour précédent est environ égale à $0,080$ (valeur arrondie à $10^{-3}$).

👉 Conseil : pour une probabilité conditionnelle, commence toujours par écrire la formule générale.

Arbre pondéré complété ci-dessous.

Nous devons justifier que, pour tout entier naturel $n \ge 1~,~ p_{n+1} = 0,2p_n + 0,7$.

Pour tout $n \ge 1$, les événements $V_n$ et $\overline{V_n}$ forment une partition de l’univers.

En utilisant la formule des probabilités totales, nous obtenons :

$p_{n+1}=P(V_{n+1})=P(V_n\cap V_{n+1})+P(\overline{V_n}\cap V_{n+1})$
$=P(V_n)\times P_{V_n}(V_{n+1})+P(\overline{V_n})\times P_{\overline{V_n}}(V_{n+1})$
$=p_n\times 0,9+(1-p_n)\times 0,7$

$=0,9p_n+0,7-0,7p_n$
$=0,2p_n+0,7$

$\Longrightarrow \boxed{p_{n+1}=0,2p_n+0,7}$

👉 Conseil : attention à bien développer l’expression $(1-p_n)\times 0,7$.

4. a)
   Nous devons déterminer lequel de ces programmes permet d’afficher les $n$ premiers termes de la suite $(p_n)$.

   

Le programme 2 affiche les $n+1$ premiers termes de la suite $(p_n)$.
Le programme 3 affiche les termes de la suite $(p_n)$ supérieurs à $1$.

Donc le programme permettant d’afficher les $n$ premiers termes de la suite $(p_n)$ est le programme 1.