Une équation différentielle pour un parachutiste

1. On veut montrer que pour $v \in [0,5[$, $(E)$ peut s’écrire : $\dfrac{v'}{25 - v^2} = 0,4$.

On a $v' = 10 - 0,4 v^2 = 0,4(25 - v^2)$.

En effet $0,4 \times 25 = 10$. Comme $25-v²$ ne peut pas être nul , on obtient en divisant :

$\dfrac{v'}{25 - v^2} = 0,4$.

2. On cherche $a$ et $b$ tels que : $\dfrac{1}{25 - v^2} = \dfrac{a}{5 + v} + \dfrac{b}{5 - v}$.

On remarque que $25 - v^2 = (5 - v)(5 + v)$.

$\dfrac{1}{(5 - v)(5 + v)} = \dfrac{a}{5 + v} + \dfrac{b}{5 - v}$.

Je multiplie par $(5 - v)(5 + v)$ :

$1 = a(5 - v) + b(5 + v) = 5a - av + 5b + bv$.

Soit $1 = (5a + 5b) + (-a + b)v$.

Par identification des coefficients :

• $5a + 5b = 1$ (constantes égales).

• $-a + b = 0$ soit $a = b$ (coefficients de $v$ égaux).

Alors $5a + 5a = 10a = 1$ donc $a = \dfrac{1}{10}$ et $b = \dfrac{1}{10}$.

Donc :

$\dfrac{1}{25 - v^2} = \dfrac{1/10}{5 + v} + \dfrac{1/10}{5 - v}$.

3. Résolution de $(E)$

On a $\dfrac{v'}{25 - v^2} = 0,4$.

En remplaçant :

$\dfrac{1}{10}\left( \dfrac{1}{5 + v} + \dfrac{1}{5 - v} \right) v' = 0,4$.

Multiplions par $10$ :

$\left( \dfrac{1}{5 + v} + \dfrac{1}{5 - v} \right) v' = 4$.

On intègre par rapport à $t$ :

$\displaystyle\int \dfrac{v'}{5 + v} \, \text dt + \int \dfrac{v'}{5 - v} \, \text dt = \int 4 \, \text dt$.

Les quantités $5+v$ et $5-v$ étant toutes deux positives, on obtient :

$\ln(5 + v) - \ln(5 - v) = 4t + C$

Donc $\ln\left( \dfrac{5 + v}{5 - v} \right) = 4t + C$.

Ainsi $\dfrac{5 + v}{5 - v} = K e^{4t}$ avec $K = e^C$.

4. Solution particulière avec $v(0) = 0$

En $t = 0$, $v(0) = 0$ :

$\dfrac{5 + 0}{5 - 0} = 1 = K e^{0} \Rightarrow K = 1$.

Donc $\dfrac{5 + v}{5 - v} = e^{4t}$.

On en déduit $v$ :

$5 + v = e^{4t}(5 - v)$
$5 + v = 5e^{4t} - e^{4t} v$
$v + e^{4t} v = 5e^{4t} - 5$
$v(1 + e^{4t}) = 5(e^{4t} - 1)$

$v(t) = 5 \cdot \dfrac{e^{4t} - 1}{e^{4t} + 1}$.

5. Fonction $h(t)$

On donne $h(t) = \dfrac{e^{4t} - 1}{e^{4t} + 1}$.

On a $v(t) = 5 h(t)$.

6. Limite de $h(t)$ en $+\infty$

$h(t) = \dfrac{1 - e^{-4t}}{1 + e^{-4t}} \to \dfrac{1 - 0}{1 + 0} = 1$.

Donc $\displaystyle\lim_{t\to +\infty} h(t) = 1$.

7. Limite de $v(t)$ en $+\infty$

$v(t) = 5 h(t) \to 5 \times 1 = 5$.

Interprétation physique des résultats :

Le terme $10$ correspond à l’accélération due à la pesanteur (environ $g = 9,8\ \text{m/s}^2$, ici arrondi à $10$ pour simplifier).

Le terme $-0,4 v^2$ est une force de frottement fluide (résistance de l’air) proportionnelle au carré de la vitesse, ce qui est classique pour un parachute ouvert.

Lorsque la vitesse augmente, la force de frottement augmente également. Quand elle devient égale au poids, l’accélération s’annule ($v' = 0$), et la vitesse atteint une limite constante appelée vitesse limite.

Ici, $v' = 0 \iff 10 - 0,4 v^2 = 0 \iff v^2 = 25 \iff v = 5\ \text{m/s}$ (la vitesse étant positive).

La vitesse limite est donc $5\ \text{m/s}$.

Conclusion physique

Le parachutiste part d’une vitesse nulle ($v(0)=0$). Il accélère d’abord, mais la résistance de l’air augmente rapidement avec la vitesse. Au bout d’un certain temps (théoriquement infini), sa vitesse se stabilise à $5\ \text{m/s}$, ce qui correspond à une chute très lente, typique d’un parachute ouvert. Cette vitesse limite est faible et permet un atterrissage en sécurité.