Équations de la forme y'=ay+b

Exercice 1

On considère l’équation différentielle $y' - 2y = -5$.

1) Solution constante $x\mapsto K$

On suppose $y(x)=K$ constante. Alors $y'=0$ et l’équation devient
$0 - 2K = -5 \ \Longrightarrow\ -2K=-5 \ \Longrightarrow\ K=\dfrac{5}{2}$.

Donc $x\mapsto \dfrac{5}{2}$ est une solution particulière constante.

2) Équation homogène vérifiée par $y-K$ et résolution

Posons $z = y - K$ avec $K=\dfrac{5}{2}$. Alors $y=z+K$ et $z'=y'$.
En remplaçant dans l’équation $y' - 2y = -5$ :
$z' - 2(z+K) = -5 \ \Longrightarrow\ z' - 2z - 2K = -5$.

Or $-2K=-5$, donc
$z' - 2z = 0$.

C’est l’équation homogène associée. On la résout :
$\dfrac{z'}{z}=2 \ \Longrightarrow\ \ln|z|=2x+C \ \Longrightarrow\ z(x)=C\,\text e^{2x}\,,\,C\in\mathbb R$.

3) Ensemble des solutions

$y(x)=z(x)+K = C,\text e^{2x} + \dfrac{5}{2}$, avec $C\in\mathbb R$.

Exercice 2

On considère l’équation différentielle $5y' + y - 4 = 0$.

1) Solution constante $x\mapsto K$

Si $y(x)=K$ est constante, alors $y'=0$ et l’équation devient
$0 + K - 4 = 0 \ \Longrightarrow\ K=4$.

Donc $x\mapsto 4$ est une solution particulière constante.

2) Équation homogène vérifiée par $y-K$ et résolution

Posons $z = y - K$ avec $K=4$. Alors $y=z+4$ et $z'=y'$.
En remplaçant dans $5y' + y - 4 = 0$ :
$5z' + (z+4) - 4 = 0 \ \Longrightarrow\ 5z' + z = 0$.

C’est l’équation homogène associée. On la met sous la forme standard :
$z' + \dfrac{1}{5}z = 0$.

Résolution :
$\dfrac{z'}{z} = -\dfrac{1}{5} \ \Longrightarrow\ \ln|z| = -\dfrac{x}{5} + C \ \Longrightarrow\ z(x)=C\,\text e^{-x/5}\,,\,C\in\mathbb R$.

3) Ensemble des solutions

$y(x)=z(x)+K = C\,\text e^{-x/5} + 4$, avec $C\in\mathbb R$.

4) Condition initiale $y(0)=3$

$y(0)=C\,\text e^{0}+4 = C+4 = 3 \ \Longrightarrow\ C=-1$.
Donc la solution cherchée est
$y(x)=4 - \text e^{-x/5}$.