Équations différentielles : définition et généralités

Définition
Une équation différentielle est une équation où l’inconnue est une fonction et où interviennent des dérivées de cette fonction.

Résoudre une équation différentielle, c’est trouver toutes les solutions de cette équation, c'est-à-dire toutes les fonctions qui vérifient cette égalité.

Exemple :
On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = 3\text e^{2x}$. Justifier que $f$ vérifie l’égalité $y' = 2y$.

Justifier que $f$ vérifie l’égalité $y' = 2y$ revient à montrer que, pour tout réel $x$, $f'(x) = 2f(x)$.

Soit $x \in \mathbb{R}$, $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$.
$f'(x) = 6\text e^{2x} = 2 \times 3\text e^{2x} = 2f(x)$

Donc $f$ est solution de cette équation différentielle.

À noter
La fonction exponentielle est l’unique solution $f$ de l’équation différentielle $y' = y$ qui vérifie $f(0) = 1$.