Équations différentielles : définition et généralités

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Définition
Une équation différentielle est une équation où l’inconnue est une fonction et où interviennent des dérivées de cette fonction.


Résoudre une équation différentielle, c’est trouver toutes les solutions de cette équation, c'est-à-dire toutes les fonctions qui vérifient cette égalité.

Exemple :
On considère la fonction ff définie sur R\mathbb{R} par f(x)=3e2xf(x) = 3\text e^{2x}. Justifier que ff vérifie l’égalité y=2yy' = 2y.

Justifier que ff vérifie l’égalité y=2yy' = 2y revient à montrer que, pour tout réel xx, f(x)=2f(x)f'(x) = 2f(x).

Soit xRx \in \mathbb{R}, ff est dérivable sur R\mathbb{R}.
f(x)=6e2x=2×3e2x=2f(x)f'(x) = 6\text e^{2x} = 2 \times 3\text e^{2x} = 2f(x)

Donc ff est solution de cette équation différentielle.


À noter
La fonction exponentielle est l’unique solution ff de l’équation différentielle y=yy' = y qui vérifie f(0)=1f(0) = 1.