Une équation différentielle pour une dissolution de sucre

Partie A

1. a) Calculons $f'(t)$ :

$f$ est dérivable sur $[0~;~5]$. Pour tout réel $t$ de $[0~;~5]$, on a :

$f'(t)=30\times(-0,4)\text e^{-0,4t}$

$f'(t)=-12\text e^{-0,4t}$

1. b) Étudions le signe de $f'(t)$ sur l'intervalle $[0~;~5]$ :

Pour tout réel $t$ de $[0~;~5]$, $\text e^{-0,4t}>0$,

donc pour tout réel $t$ de $[0~;~5]$, $-12\text e^{-0,4t}<0$.

D'où : pour tout réel $t$ de $[0~;~5]$, $f'(t)<0$.

1. c) Déduisons-en le tableau de variations de $f$ :

De la question précédente, on en déduit que $f$ est strictement décroissante sur $[0~;~5]$.

$f(0)=30\times \text e^{-,04\times 0}=30$

$f(5)=30\times \text e^{-0,4\times 5}=30\text e^{-2}$

2. Reproduire et compléter le tableau suivant en donnant les résultats arrondis à $0,1$ près :
   $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline t & 0 & 0,5 & 1 & 1,5 & 2 & 2,5 & 3 & 4 & 5 \\ \hline f(t) & 30 & 24,6 & 20,1 & 16,5 & 13,5 & 11,0 & 9 & 6,1 & 4,1 \\ \hline \end{array}$

3. Traçons la courbe représentative de la fonction $f$ .
   Partie B

   1. a) Résolvons l'équation différentielle $y'=-0,4y$ :

   $y'=0,4y$ est de la forme $y'=ay$ avec $a=-0,4$. Les solutions de l'équation différentielle $y'=ay$ sont les fonctions $y$ définies sur $\mathbb{R}$ par : $y(x)=C\text e^{-0,4x}$, où $C$ est une constante réelle.

   1. b) Trouvons la solution telle que $y(0)=30$ :

   On cherche la solution telle que $y(0)=30$, donc : $C\times \text e^{-0,4\times 0}=30$, ce qui équivaut à $C=30$.

   D'où : la solution sur $[0~;~5]$ de l'équation différentielle $y'=-0,4y$ telle que $y(0)=30$ est donnée par $y(x)=30\text e^{-0,4x}$ qui est la fonction $f$ de la partie A.

   2. a) Déterminons au bout de combien de temps on aura $50~\%$ de la quantité de sucre dissoute :

   On veut que $50\%$ de la quantité de sucre soit dissous. Il y aura aura alors $50\%$ de sucre non dissous, c'est-à-dire $\dfrac{50}{100}\times 30=15$ soit $15$ kg.

   On trace la droite d'équation $y=15$ en rouge. Elle coupe la courbe représentative de la fonction $f$ en un point d'abscisse $1,7$.

   Donc : au bout de $1,7$ heures soit $1$h $42$min, on aura $50\%$ de la quantité de sucre dissoute.

   2. b) Déterminons le temps pendant lequel la quantité de sucre dissous représente moins de $40~\%$ de la quantité initiale :

   $40\%$ de la quantité initiale représente $\dfrac{40}{100}\times 30$, soit $12$ kg. Si $12$ kg de sucre sont dissous, il reste $30-12=18$ kg de sucre non dissous.

   On trace la droite d'équation $y=18$ en bleu. Elle coupe la courbe représentative de la fonction $f$ en un point d'abscisse $1,3$.

   Donc : la quantité de sucre dissous représente moins de $40$ de la quantité initiale pendant $1,3$ heures soit $1$h $18$min.

   3. Retrouvons le résultat de la question 2. a) en résolvant une équation :

   $f(t)=15\Longleftrightarrow 30\text e^{-0,4t}=15\\ \Longleftrightarrow \text e^{-0,4t}=\dfrac{15}{30}\\ \Longleftrightarrow \text e^{-0,4t}=0,5\\ \Longleftrightarrow -0,4t=\ln 0,5$la fonction $\ln$ est continue et strictement croissante sur $]0~;~+\infty[$

   $\Longleftrightarrow t=\dfrac{\ln 0,5}{-0,4}\\ \Longleftrightarrow t\approx 1,7$à $0,1$ près.

   On retrouve bien le résultat de la question 2. a).