Second degré : mise en équation

Exercice 1

Soit $v$ la vitesse de marche en km.h$^{-1}$ du touriste.
Aller (A $\rightarrow$ B) : $v_a = v + 4$
Le temps mis à l’aller est : $t_1 = \dfrac{0,3}{v+4}$
Retour (B $\rightarrow$ A) : $v_b = v - 4$
Le temps mis au retour est : $t_2 = \dfrac{0,3}{v - 4}$
Temps total (A $\rightarrow$ B $\rightarrow$ A) : $t = t_1 + t_2 = \dfrac{0,3}{v+4} + \dfrac{0,3}{v-4}$
Or, $t = 10\ \text{min}\ 48\ \text{s} \equiv t = 0,18\ \text{heure}$, donc :
$\dfrac{0,3}{v+4} + \dfrac{0,3}{v-4} = 0,18$

$\Longleftrightarrow \dfrac{0,3}{v-4} + \dfrac{0,3}{v+4} = 0,18(v - 4)(v + 4)$

$\Longleftrightarrow 0,3v - 1,2 + 1,2 + 0,3v = 0,18v^2 - 2,88$

$\Longleftrightarrow 0,18v^2 - 0,6v - 2,88 = 0$

Or, $\Delta = b^2 - 4ac = (-0,6)^2 - 4\times 0,18 \times (-2,88) = 2,4336 = 1,56^2$, donc :

$\begin{array}{lcl} v_1 = \dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} & \hspace{30pt} & v_2 = \dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\\ v_1 = \dfrac{0,6 - 1,56}{0,36} & & v_2 = \dfrac{0,6 + 1,56}{0,36}\\ v_1 = -\dfrac{8}{3} & & v_2 = 6 \end{array}$

La vitesse étant obligatoirement positive, le touriste marche à 6 km.h$^{-1}$.

Exercice 2

Soient $x$ le chiffre des unités et $y$ le chiffre des dizaines.
La somme des deux chiffres est égale à 12, donc $x + y = 12$.
Le produit de $N$ par $N'$ est égal à $4~275$ se traduit par : $(x + 10y)(y + 10x) = 4~275$.
On obtient alors le système suivant :

$\left \lbrace \begin{matrix} x + y &=& 12 \\ (x+10y)(y+10x) &=& 4,275 \\ \end{matrix} \right.$

$\Longleftrightarrow \left \lbrace \begin{matrix}y &=& 12 - x \\ (x + 10(12-x))((12-x)+10x) &=& 4,275 \end{matrix} \right.$

$\Longleftrightarrow \left \lbrace \begin{matrix} y &=& 12-x \\ (x + 120 - 10x)(12-x+10x) &=& 4,275 \end{matrix} \right.$

$\Longleftrightarrow \left \lbrace \begin{matrix} y &=& 12-x \\ (-9x+120)(9x+12) &=& 4,275 \end{matrix} \right.$

$\Longleftrightarrow \left \lbrace \begin{matrix} y &=& 12-x \\ -81x^2 - 108x + 1,080x + 1,440 - 4,275 &=& 0 \end{matrix} \right.$

$\Longleftrightarrow \left \lbrace \begin{matrix}y & =&12-x \\-81x^2 + 972x - 2,835 &=& 0 \end{matrix} \right.$

Résolvons $-81x^2 + 972x - 2~835 = 0$.

$\Delta = b^2-4ac = 972^2 - 4(-81)(-2~835) = 26~244 = 162^2$

Donc :

$\begin{matrix} x_1 = \dfrac{-972-162}{2(-81)} & \hspace{30pt} & x_2 = \dfrac{-972+162}{2(-81)}\\ x_1 = 7 & & x_2 = 5 \end{matrix}$

On en déduit alors : $y_1 = 12 - 7 = 5$ et $y_2 = 12 - 5 = 7$.

Les nombres solutions sont N = 75 et N = 57.

Exercice 3

Soit $P$ la production annuelle.
À la fin de l’année 0, la production est de $P.$
À la fin de l’année 1, la production est de $\left(1 + \dfrac{t}{100}\right)P$.
À la fin de l’année 2, la production est de $\left(1 + \dfrac{t}{100}\right)\left[\left(1 + \dfrac{t}{100}\right)P\right] = \left(1 + \dfrac{t}{100}\right)^2P$.
À la fin de l’année 2, la production doit être $2P.$

L’équation qui en découle est donc :

$\left(1 + \dfrac{t}{100}\right)^2P = 2P$
$\Longleftrightarrow \left(1 + \dfrac{t}{100}\right)^2 = 2$

$\Longleftrightarrow 1 + \dfrac{2t}{100} + \left(\dfrac{t}{100}\right)^2 - 2 = 0$
$\Longleftrightarrow \dfrac{t}{50} + \dfrac{t^2}{10,000} - 1 = 0$
$\Longleftrightarrow 200t + t^2 - 10~000 = 0$
$\Longleftrightarrow t^2 + 200t - 10~000 = 0$

Or, $\Delta = b^2 - 4ac = 200^2 - 4 \times 1 \times (-10~000) = 80~000$, donc :

$\begin{array}{lll} x_1 = \dfrac{-200 - \sqrt{80~000}}{2} &\hspace{30pt}& x_2 = \dfrac{-200 + \sqrt{80~000}}{2} \\ x_1 \approx -241,42 && x_2 \approx 41,42 \end{array}$

L’augmentation annuelle doit être d’environ 41,42%.

Exercice 4

Soit $n$ le nombre de personnes, $n \ge 4$.
$12~000$ à partager entre $n$ personnes, la part de chacun est $\dfrac{12000}{n}$.
Si $4$ personnes de moins, la part de chacun augmente de $1~500$, soit $\dfrac{12~000}{n} + 1~500$.

On établit l’équation : $\dfrac{12~000}{n-4} = \dfrac{12~000}{n} + 1~500$.

Soit $\dfrac{-1~500n^2+6~000n+48~000}{n(n-4)}=0$.

Une fraction est nulle si son numérateur est nul, ce qui donne : $-1~500n^2+6~000n+48~000=0$ ou encore $n^2-4n-32=0$.

$n^2-4n-32 = (n-8)(n+4)$.

Donc $n=8$ ou $n=-4$.
On retient $n=8$.

Conclusion : il y a 8 personnes.

Exercice 5

1. Vitesse à l’aller : $(v+5)$
   Vitesse au retour : $(v-5)$

2. Durée du trajet à l’aller : $\dfrac{75}{v+5}$
   Durée du trajet au retour : $\dfrac{75}{v-5}$

3. La durée totale étant de 8 h :
   $\dfrac{75}{v+5}+\dfrac{75}{v-5}=8$

$\Longleftrightarrow 75(v-5)+75(v+5)=8(v^2-25)$
$\Longleftrightarrow 150v = 8v^2 - 200$
$\Longleftrightarrow 8v^2 - 150v - 200 = 0$

$\Delta = (-150)^2 - 4 \times 8 \times (-200) = 28,900 = 170^2$

$\begin{array}{lll}v_1 = \dfrac{150 - 170}{16} = -1,25 && v_2 = \dfrac{150 + 170}{16} = 20\end{array}$

La vitesse propre du bateau est donc 20 km.h$^{-1}$.

Exercice 6

Soient $x>0$ le côté de la base carrée, et $h>0$ la hauteur.
$V = x^2h = 1875 \Longrightarrow h=\dfrac{1875}{x^2}$.
$S(x)=2x^2+4xh = 2x^2+\dfrac{7500}{x}$.

On cherche $S(x)=950$, donc $2x^3-950x+7500=0$.

On constate que $x=10$ est une racine évidente.
Donc $P(x)=(x-10)(2x^2+20x-750)$.

Résolvons $x^2+10x-375=0$, on trouve $x=15$ ou $x=-25$.
On retient $x=10$ ou $x=15$.

Pour $x=10$, $h=18,75$.
Pour $x=15$, $h=8,33$.

Les dimensions sont donc (10 cm ; 18,75 cm) ou (15 cm ; 8,33 cm).

Exercice 7

$abc=792$
$ab+ac+bc=477$
$a+b+c=42,5$

$Q(x)=x^3-42,5x^2+477x-792$.

On vérifie que $x=2$ est racine.
Alors $Q(x)=(x-2)(x^2-40,5x+396)$.

Les autres racines sont $16,5$ et $24$.

Les dimensions du livre sont 2 cm, 16,5 cm et 24 cm.
L’épaisseur est de 2 cm.

Exercice 8

Temps voiture 1 : $\dfrac{d}{v}+\dfrac{d}{2v}$
Temps voiture 2 : $\dfrac{d}{48}+\dfrac{d}{v+20}$

Équation : $\dfrac{1}{v}+\dfrac{1}{2v}=\dfrac{1}{48}+\dfrac{1}{v+20}$

$\Longleftrightarrow \dfrac{3}{2v}=\dfrac{1}{48}+\dfrac{1}{v+20}$

Après calcul : $v^2-4v-1440=0$.

$\Delta = 16+5760=5776=76^2$.

$v=40$ ou $v=-36$.

On retient $v=40$.

Conclusion : la vitesse est 40 km/h.