Un exercice ouvert aux quatre méthodes rédigées

On remarque, en effectuant plusieurs essais que $n^5 - n$ se termine par zéro. On va essayer de le démontrer.

On peut écrire $n^5 - n = n(n - 1)(n + 1)(n^2 + 1)$. Cette écriture appelle à deux remarques :

• le produit est pair car $n$ et $n + 1$ sont deux entiers consécutifs.

• de plus les naturels 2 et 5 sont premiers entre eux.
  Donc pour démontrer que $n^5 - n$ est divisible par 10, on doit démontrer uniquement qu'il est divisible par 5.
  On va se servir de quatre méthodes différentes.

1ère Méthode : par récurrence

$\checkmark$ Pour $n = 0$ : vraie

$\checkmark$ Supposons que la relation soit vraie au rang $n$, soit : $n^5 - n = 5k , (k \in \textbf{N})$
Démontrons qu'elle est vraie au rang $n + 1$, soit $(n + 1)^5 - (n + 1)$ est un multiple de 5.
On a $(n + 1)^5 - (n + 1) = n^5 + 5n^4 + 10n^3 + 10n^2 + 5n + 1 - n - 1$
$(n + 1)^5 - (n + 1) = n^5 - n + 5(n^4 + 2n^3 + 2n^2 + n)$. Cette dernière expression montre que la relation est vraie au rang $n+1$.

$\checkmark$ Le principe de récurrence permet de conclure.

2ème méthode : les congruences

On étudie les valeurs possibles pour le reste dans la division euclidienne de $n$ par 5.
Si $n \equiv 0 , \text{ (modulo 5)}, , , n^5 - n \equiv 0 , \text{ (modulo 5)}$
Si $n \equiv 1 , \text{ (modulo 5)}, , , n^5 \equiv 1 , \text{ (modulo 5)}$ donc $n^5 - n \equiv 0 , \text{ (modulo 5)}$
Si $n \equiv 2 , \text{ (modulo 5)}, , , n^5 \equiv 2 , \text{ (modulo 5)}$ donc $n^5 - n \equiv 0 , \text{ (modulo 5)}$
Si $n \equiv 3 , \text{ (modulo 5)}, , , n^5 \equiv 3 , \text{ (modulo 5)}$ donc $n^5 - n \equiv 0 , \text{ (modulo 5)}$
Si $n \equiv 4 , \text{ (modulo 5)}, , , n^5 \equiv 4 , \text{ (modulo 5)}$ donc $n^5 - n \equiv 0 , \text{ (modulo 5)}$
La conclusion est immédiate.

3ème méthode : factorisation de $n^5 - n$

$n^5 - n = n(n - 1)(n + 1)(n^2 + 1)$
Si $n \equiv 0 , \text{(modulo 5)}$ alors $n^5 - n \equiv 0 , \text{(modulo 5)}$
Si $n \equiv 1 , \text{(modulo 5)}$ alors $n - 1 \equiv 0 , \text{(modulo 5)}$ et $n^5 - n \equiv 0 , \text{(modulo 5)}$
Si $n \equiv 2$ ou $n \equiv 3 , \text{(modulo 5)}$ alors $n^2 + 1 \equiv 0 , \text{(modulo 5)}$ et $n^5 - n \equiv 0 , \text{(modulo 5)}$
Si $n \equiv 4 , \text{(modulo 5)}$ alors $n + 1 \equiv 0 , \text{(modulo 5)}$ et $n^5 - n \equiv 0 , \text{(modulo 5)}$
La conclusion en découle.

4ème méthode : on utilise le petit théorème de Fermat

$n^5 - n = n(n^4 - 1)$
Si $n \equiv 0 , \text{(modulo 5)}$ on a $n^5 - n \equiv 0 , \text{(modulo 5)}$
Si $n$ n’est pas congru à zéro (modulo 5), comme 5 est premier, $n$ est premier avec 5.

D’après le petit théorème de Fermat, $n^{5-1} - 1$ est divisible par 5.
On a donc $n^5 - n \equiv 0 , \text{(modulo 5)}$.