Étude complète d’un problème de congruences et de PGCD

1-a) Vérification directe : $3\times 1-4\times (-1)=3+4=7$

$\boxed{(1;-1)\text{ est une solution de }(E')}$

b) Soit $(x;y)\in\Z^2$ solution de $(E')$

Alors $3x-4y=7\iff 3x-4y=3\times 1 -4(-1) \iff 3(x-1)=4(y+1)$

Il s'ensuit que $\tfrac{4}{3}(x-1)\text{ et }\tfrac{3}{4}(y+1)$ ; or $4\wedge 3 =1$ , alors d'après le lemme de Gauss : $4|(x-1)\text{ et }3|(y+1)$ .

Il existe donc deux entiers relatifs $k\text{ et }k'$ tels que $x-1=4k\text{ et }y+1=3k'$ , ou encore tels que $x=4k+1\text{ et }y=3k'-1$ .

Réciproquement : $3x-4y=7\iff 3(4k+1)-4(3k'-1)=7\iff 12k+3-12k'+4=7\iff k=k'$

On conclut alors que l'ensemble des solutions de $(E')$ est :
$\boxed{S_{(E')}=\lbrace (4k+1;3k-1)\enskip/\enskip k\in\Z\rbrace }$

2-a) On a , pour tout entier naturel $n$ :

$4(n^2+2n-1)+1=4n^2+8n-4+1=4n^2+8n-3=a_n$
$3(n^2+2n-1)-1=3n^2+6n-3-1=3n^2+6n-4=b_n$

$\boxed{\forall n\in \N \text{ , }a_n=4(n^2+2n-1)+1\enskip\text{ et }\enskip b_n=3(n^2+2n-1)-1}$

De plus , pour tout $n \in \N \text{ : }$

$\begin{matrix}3a_n-4b_n &=&3\left[4(n^2+2n-1)+1\right]-4\left[3(n^2+2n-1)-1\right]\\&=&12(n^2+2n-1)+3-12(n^2+2n-1)+4\\&=& 7 \end{matrix}$

$\boxed{\forall n\in\N\text{ : }(a_n;b_n) \text{ est solution de l'équation }(E') }$

b) On a , pour tout entier naturel $n\text{ : } d_n=PGCD(a_n;b_n)$ ; Alors $d_n|a_n\enskip\text{ et }\enskip d_n|b_n$

Il s'ensuit que $d_n|3a_n\enskip\text{ et }\enskip d_n|-4b_n$ , et donc $d_n|3a_n-4b_n$ , ou encore $d_n|7$ .

Et puisque $7$ est premier , alors :
$\boxed{\forall n\in\N\text{ : }d_n=1\text{ ou }d_n=7}$

3-a)

$\begin{matrix}\forall n\in\N \text{ : }a_n-b_n&=&4n^2+8n-3-3n^2-6n+4\&=& n^2+2n+1\&=&(n+1)^2\end{matrix}$

$\boxed{\forall n\in\N\text{ : }a_n-b_n=(n+1)^2}$

Ensuite , puisque $d_n|a_n\text{ et }d_n|b_n$ ; alors $d_n|(a_n-b_n)$ , ou bien :
$\boxed{\forall n\in\N\text{ : }d_n|(n+1)^2}$

b) On a :

$n\equiv 0[7]\iff (n+1)\equiv 1[7]\iff (n+1)^2\equiv 1[7]$
$n\equiv 1[7]\iff (n+1)\equiv 2[7]\iff (n+1)^2\equiv 4[7]$
$n\equiv 2[7]\iff (n+1)\equiv 3[7]\iff (n+1)^2\equiv 9[7]\equiv 2[7]$
$n\equiv 3[7]\iff (n+1)\equiv 4[7]\iff (n+1)^2\equiv 16[7]\equiv 2[7]$
$n\equiv 4[7]\iff (n+1)\equiv 5[7]\iff (n+1)^2\equiv 25[7]\equiv 4[7]$
$n\equiv 5[7]\iff (n+1)\equiv 6[7]\iff (n+1)^2\equiv 36[7]\equiv 1[7]$
$n\equiv 6[7]\iff (n+1)\equiv 7[7]\equiv 0[7]\iff (n+1)^2\equiv 0[7]$

Ce qui permet de compléter le tableau suivant :

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline \text{ Reste de la division euclidienne de }n\text{ par }7&0&1&2&3&4&5&6\\ \hline \text{ Reste de la division euclidienne de }(n+1)^2\text{ par }7&1 &4 &2&2&4&1&0\\ \hline \end{array}$

4-a) Soit $d_n=7$

D'après 3-a) , on a $d_n|(n+1)^2$ , alors $7|(n+1)^2$ , ce qui veut dire que $(n+1)^2\equiv 0[7]$

Ce qui correspond , d'après le tableau rempli en 3-b) , à $n\equiv 6[7]$ .

Conclusion :
$\boxed{\text{ Si }d_n=7 \text{ , alors } n\equiv 6[7] }$

b) On a :

$\begin{matrix} n\equiv 6[7]&\iff& (n+1)^2\equiv 0[7]\&\iff& a_n-b_n\equiv 0[7] \&\iff& 7|(a_n-b_n) \end{matrix}$

Il existe un entier relatif $p$ tel que $a_n-b_n=7p$ .

Or , on a vu que $(a_n,b_n)$ est solution de $(E')$ ; donc :

$3a_n-4b_n=7\iff 3(a_n-b_n)-b_n=7\iff 3\times 7p-b_n=7 \iff b_n=7(3p-1)\iff 7|b_n$

Il existe donc $q\in\Z\enskip / \enskip b_n=7q$

Alors : $a_n-b_n=7p\iff a_n=7p+b_n=7p+7q=7(p+q)$

On en tire que $7|a_n$

Conclusion :
$\boxed{\text{ Si } n\equiv 6[7] \text{ alors }a_n \text{ et }b_n \text{ sont divisibles par } 7}$

c)
Si $n\equiv 6[7]$ , alors $7|a_n\text{ et }7|b_n$
D'où $7|d_n$ ; Et comme $d_n=1\text{ ou }d_n=7$ , on en tire que $d_n=7$

Si $n\not\equiv 6[7]$ , alors d'après le tableau 3-b) , $(n+1)^2\not\equiv 0[7]$
Ce qui veut dire que $7$ ne divise pas $(n+1)^2$ , donc $7$ ne divise pas $a_n-b_n$ .
Or , on sait que $d_n$ divise $a_n-b_n$ , donc $d_n \neq 7$
Et comme $d_n=1\text{ ou }d_n=7$ , alors $d_n=1$

Conclusion :
$\boxed{\begin{cases} d_n=7 & \text{ Si }n\equiv 6[7] \\d_n=1& \text{ Sinon }\end{cases}}$