Système de deux équations linéaires à deux inconnues

I. Système de deux équations linéaires

Un système de deux équations à deux inconnues $x$ et $y$ s’écrit :

$\begin{cases}a_1x + b_1y = c_1 \\a_2x + b_2y = c_2\end{cases}$

Chaque équation représente une équation de droite dans le plan.
Résoudre ce système revient à trouver le point commun aux deux droites, c’est-à-dire leur point d’intersection (s’il existe).

II. Méthodes de résolution

1. Par substitution

On isole une variable dans une des deux équations, puis on la remplace dans l’autre.

Exemple 1 :

$\begin{cases}y = 2x + 1 \\3x + y = 4\end{cases}$

On remplace $y$ par $2x + 1$ dans la 2e équation :

$\small 3x + (2x + 1) = 4 \Rightarrow 5x + 1 = 4 \Rightarrow 5x = 3 \Rightarrow x = \dfrac{3}{5}$

On remplace dans la première équation :
$y = 2 \times \dfrac{3}{5} + 1 = \dfrac{6}{5} + \dfrac{5}{5} = \dfrac{11}{5}$

Solution : le point d’intersection est $I\left(\dfrac{3}{5}\,; \dfrac{11}{5}\right)$

Du point de vue géométrique :

2. Par addition (ou méthode par combinaison linéaire)

On multiplie les équations si besoin pour faire apparaître des coefficients opposés, puis on additionne membre à membre pour éliminer une inconnue.

Exemple 2 :

$\begin{cases}2x + y = 7 \\3x - y = 1\end{cases}$

On additionne directement les deux équations :

$(2x + y) + (3x - y) = 7 + 1 \Rightarrow 5x = 8 \Rightarrow x = \dfrac{8}{5}$

On remplace dans la 1^ère équation :

$2 \times \dfrac{8}{5} + y = 7 \Rightarrow \dfrac{16}{5} + y = 7$

$\Rightarrow y = 7 - \dfrac{16}{5} = \dfrac{35}{5} - \dfrac{16}{5} = \dfrac{19}{5}$

Solution : $I\left(\dfrac{8}{5}\,; \dfrac{19}{5}\right)$

Du point de vue géométrique :

III. Cas particuliers

1. Une seule solution → les droites sont sécantes

C’est le cas général : les deux droites se croisent en un point.

2. Aucune solution → les droites sont parallèles distinctes

Le système est incompatible. Exemple :

$\begin{cases}y = 2x + 1 \\y = 2x - 3\end{cases}$

Même pente ($m = 2$), ordonnées à l’origine différentes → droites parallèles, pas de point commun.

Du point de vue géométrique :

3. Infinité de solutions → les droites sont confondues

Le système est indéterminé. Exemple :

$\begin{cases}y = -x + 4 \\2y = -2x + 8\end{cases}$

La 2^e équation est multiple de la première → les deux droites sont les mêmes.

IV. À retenir

• Résoudre un système de deux équations revient à trouver le point d’intersection des deux droites associées.

• Il existe trois cas : une solution (droites sécantes), aucune (droites parallèles), ou une infinité (droites confondues).

• Deux méthodes principales : substitution et combinaison linéaire (addition).