Système de deux équations linéaires à deux inconnues (2)

Exercice 1

$\left\lbrace\begin{matrix} 3x+y-1=0\\ x-2y+3=0 \end{matrix}\right.$ équivaut à
$\left\lbrace\begin{matrix} 3x+y=1\\ x-2y=-3 \end{matrix}\right.$

Comme $3\times(-2)-1\times1=-7\neq0$, alors ce système admet un unique couple solution.
👉 Conseil : calcule toujours le déterminant pour savoir combien de solutions le système admet. Calculer ce déterminant revient à regarder si les droites représentatives sont parallèles ou pas.

Résolution du système : multiplions la deuxième équation par $-3$ :

$\left\lbrace\begin{matrix} 3x+y=1\\ -3x+6y=9 \end{matrix}\right.$

$\left\lbrace\begin{matrix} 3x+y=1\\ 7y=10 \end{matrix}\right.$
(On additionne la première et la deuxième équation)

$\left\lbrace\begin{matrix} 3x+y=1\\ y=\dfrac{10}{7} \end{matrix}\right.$
(On a déterminé la valeur de $y$, on remplace alors cette valeur dans la première équation)

$\left\lbrace\begin{matrix} 3x+\dfrac{10}{7}=1\\ y=\dfrac{10}{7} \end{matrix}\right.$

$\left\lbrace\begin{matrix} 3x=1-\dfrac{10}{7}\\ y=\dfrac{10}{7} \end{matrix}\right.$

$\left\lbrace\begin{matrix} x=-\dfrac{3}{7}\times\dfrac{1}{3}\\ y=\dfrac{10}{7} \end{matrix}\right.$

$\left\lbrace\begin{matrix} x=-\dfrac{1}{7}\\ y=\dfrac{10}{7} \end{matrix}\right.$

D'où : $S=\left\lbrace\left(-\dfrac{1}{7}~;~\dfrac{10}{7}\right)\right\rbrace$

👉 Conseil : une fois $y$ trouvé, remplace-le immédiatement dans une équation simple.

L'équation $3x+y=1$ est équivalente à $y=-3x+1$ [1]
De même, l'équation $x-2y=-3$ est équivalente à $y=\dfrac12x+\dfrac32$ [2]

Les droites dont les équations réduites sont respectivement [1] et [2] sont sécantes.
Le système a donc une unique solution : les coordonnées du point d'intersection de ces deux droites.

$\left\lbrace\begin{matrix} 12x+5y-26=0\\ 8x-7y-38=0 \end{matrix}\right.$ équivaut à
$\left\lbrace\begin{matrix} 12x+5y=26\\ 8x-7y=38 \end{matrix}\right.$

Comme $12\times(-7)-5\times8=-124\neq0$, alors ce système admet un unique couple solution.

👉 Conseil : si le déterminant est non nul, tu es sûr qu’il y a une seule solution.

Résolution du système : multiplions la première équation par $2$ et la deuxième équation par $-3$ :

$\left\lbrace\begin{matrix} 24x+10y=52\\ -24x+21y=-114 \end{matrix}\right.$

$\left\lbrace\begin{matrix} 24x+10y=52\\ 31y=-62 \end{matrix}\right.$

$\left\lbrace\begin{matrix} 12x+5y=26\\ y=-\dfrac{62}{31}=-2 \end{matrix}\right.$

Remplaçons $y$ par $-2$ dans la première équation :

$\left\lbrace\begin{matrix} 12x+5\times(-2)=26\\ y=-2 \end{matrix}\right.$

$\left\lbrace\begin{matrix} 12x=36\\ y=-2 \end{matrix}\right.$

$\left\lbrace\begin{matrix} x=3\\ y=-2 \end{matrix}\right.$

D'où : $S=\lbrace(3~;~-2)\rbrace$

👉 Conseil : simplifie toujours les fractions dès que possible.

L'équation $12x+5y=26$ est équivalente à $y=-\dfrac{12}{5}x+\dfrac{26}{5}$ [1]
De même, l'équation $8x-7y=38$ est équivalente à $y=\dfrac{8}{7}x-\dfrac{38}{7}$ [2]

Les droites dont les équations réduites sont respectivement [1] et [2] sont sécantes.
Le système a donc une unique solution : les coordonnées du point d'intersection de ces deux droites.

$\left\lbrace\begin{matrix} 3x+y-7=0\\ 6x+2y-9=0 \end{matrix}\right.$ équivaut à
$\left\lbrace\begin{matrix} 3x+y=7\\ 6x+2y=9 \end{matrix}\right.$

Comme $3\times2-1\times6=0$, alors ce système n'admet soit aucune solution, soit une infinité de solutions.

👉 Conseil : un déterminant nul impose une étude graphique.

L'équation $3x+y=7$ est équivalente à $y=-3x+7$ [1]
De même, l'équation $6x+2y=9$ est équivalente à $y=-3x+\dfrac{9}{2}$ [2]

Les droites dont les équations réduites sont respectivement [1] et [2] sont strictement parallèles.
Nous pouvons donc en conclure que ce système n'admet aucune solution.

D'où : $S=\emptyset$

$\left\lbrace\begin{matrix} 4x+5y-9=0\\ 8x+10y-18=0 \end{matrix}\right.$ équivaut à
$\left\lbrace\begin{matrix} 4x+5y=9\\ 8x+10y=18 \end{matrix}\right.$

Comme $4\times10-5\times8=0$, alors le système admet soit aucune solution, soit une infinité de solutions.

L'équation $4x+5y=9$ est équivalente à $y=-\dfrac45x+\dfrac95$
De même, l'équation $8x+10y=18$ est équivalente à $y=-\dfrac45x+\dfrac95$

Les droites dont les équations réduites sont confondues.
Nous pouvons donc en conclure que le système admet une infinité de solutions : les coordonnées des points de la droite d'équation
$y=-\dfrac45x+\dfrac95$.

Exercice 2

On considère le système suivant :

$\left\lbrace\begin{matrix} \dfrac{12}{x+2}-\dfrac{18}{y+1}=-10\\ \dfrac{3}{x+2}+\dfrac{4}{y+1}=5 \end{matrix}\right.$

On effectue un changement de variable en posant :
$X=\dfrac{1}{x+2}$ et $Y=\dfrac{1}{y+1}$

👉 Conseil : le changement de variable permet de transformer un système compliqué en système linéaire.

Le système devient alors :

$\left\lbrace\begin{matrix} 12X-18Y=-10\\ 3X+4Y=5 \end{matrix}\right.$

Comme $12\times4-3\times(-18)=102\neq0$, alors ce système admet une unique solution.

Résolution du système :

$\left\lbrace\begin{matrix} 12X-18Y=-10\\ 3X+4Y=5 \end{matrix}\right.$ équivaut à

$\left\lbrace\begin{matrix} 6X-9Y=-5\\ 3X+4Y=5 \end{matrix}\right.$
(on divise par $2$ la première équation)

$\left\lbrace\begin{matrix} 6X-9Y=-5\\ -6X-8Y=-10 \end{matrix}\right.$
(on multiplie par $-2$ la deuxième équation)

$\left\lbrace\begin{matrix} 6X-9Y=-5\\ -17Y=-15 \end{matrix}\right.$

$\left\lbrace\begin{matrix} 6X-9Y=-5\\ Y=\dfrac{15}{17} \end{matrix}\right.$

$\left\lbrace\begin{matrix} 6X-9\times\dfrac{15}{17}=-5\\ Y=\dfrac{15}{17} \end{matrix}\right.$

$\left\lbrace\begin{matrix} 6X=-5+\dfrac{135}{17}\\ Y=\dfrac{15}{17} \end{matrix}\right.$

$\left\lbrace\begin{matrix} X=\dfrac{50}{17}\times\dfrac{1}{6}\\ Y=\dfrac{15}{17} \end{matrix}\right.$

$\left\lbrace\begin{matrix} X=\dfrac{25}{51}\\ Y=\dfrac{15}{17} \end{matrix}\right.$

Or n'oublions pas que nous avons établi un changement de variable en posant
$X=\dfrac{1}{x+2}$ et $Y=\dfrac{1}{y+1}$.

Donc :
$\dfrac{25}{51}=\dfrac{1}{x+2}$
$25(x+2)=51$
$25x+50=51$
$25x=1$
$x=\dfrac{1}{25}$

Et :
$\dfrac{15}{17}=\dfrac{1}{y+1}$
$15(y+1)=17$
$15y+15=17$
$15y=2$
$y=\dfrac{2}{15}$

D'où :
$S=\left\lbrace\left(\dfrac{1}{25}~;~\dfrac{2}{15}\right)\right\rbrace$

ChatGPT peut commettre des erreurs. Il est recommandé de vérifier les informations importantes. Voir les préférences en matière de cookies.