Série statistique et tableur

En raison de la surpêche, un groupement de communes littorales a vu le stock de cabillaud diminuer considérablement aux abords de ses côtes. En $2015$, le stock de cabillaud de la région concernée était estimé à $5~000$ tonnes.

Les autorités locales souhaitent réglementer la pêche de cabillaud pour éviter sa disparition totale des côtes des communes littorales concernées.

Partie A

Les autorités locales décident de limiter la pêche pour cette espèce. On suppose que hors pêche, le stock reste constant à $5~000$ tonnes.

On note $u_n$ la quantité maximale (ou quota), en tonne, de cabillaud pouvant être pêchée sur ces côtes l'année $2015+n$, avec $n$ entier naturel. On a ainsi $u_0=600$.

Les autorités locales décident de baisser chaque année le quota de pêche de cabillaud de $30$ tonnes.

a) Quelle est la nature de la suite $(u_n)$ ? Donner sa raison et son premier terme.

b) Exprimer $u_n$ en fonction de $n$.

c) Calculer $u_{10}$. Interpréter ce résultat dans le contexte étudié.

2. Le tableau ci-dessous, extrait d’une feuille de calcul, donne les valeurs de la suite $(u_n)$ et la quantité totale de cabillaud pêchée à partir de l’année $2015$.

a) Quelle formule, destinée à être copiée vers le bas, faut-il saisir en B3 afin d’obtenir les termes de la suite $(u_n)$ ?

b) Quelle formule peut-on saisir dans la cellule C3 afin d’obtenir, par recopie vers le bas, la quantité totale de cabillaud pêchée depuis $2015$ ?

a) Calculer la quantité totale de cabillaud pêchée entre $2015$ et $2025$.

b) La réglementation adoptée permet-elle d’éviter à long terme la disparition du cabillaud des côtes des communes littorales concernées ? Justifier la réponse.

Partie B

Une étude montre que le modèle de la partie A n’est pas valide. En fait, en l’absence de pêche, le stock de cabillaud augmente de $12\%$ chaque année.

On fixe alors le quota de pêche de cabillaud à $500$ tonnes par an.

On note $v_n$ le stock de cabillaud, en tonne, pour l’année $2015+n$ avant que ne démarre la saison de pêche.

On rappelle que $v_0=5\,000$.

1. Calculer $v_1$.

2. On admet que la suite $(v_n)$ est définie pour tout entier naturel $n$ par la relation :

$v_{n+1}=1{,}12\times v_n - 500$

On donne l’algorithme suivant :

Variables
$i$ et $n$ sont des entiers naturels
$v$ est un réel

Traitement
Saisir $n$
$v$ prend la valeur $5,000$
Pour $i$ allant de $1$ à $n$
$\quad v$ prend la valeur $1{,}12\times v - 500$
Fin Pour
Afficher $v$

a) Le tableau ci-dessous donne les valeurs de $v$ obtenues à l’aide de l’algorithme et arrondies à l’unité lorsque l’utilisateur saisit une valeur de $n$ comprise entre $2$ et $7$.

Par exemple, pour $n=2$, l’algorithme affiche $5\,212$.

b) Donner la valeur affichée par l’algorithme, arrondie à l’unité, lorsque l’utilisateur saisit la valeur $n=9$.

c) Interpréter, dans le contexte étudié, la valeur affichée par l’algorithme pour $n=9$.