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Analyse statistique de deux caractères : tableau croisé (2)

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Énoncé

Dans un lycée de 1 280 élèves, 300 élèves se font vacciner contre la grippe. Pendant l'hiver, il y a une épidémie de grippe et 10 % des élèves contractent la maladie. De plus, 3 % des élèves vaccinés ont la grippe.

Reproduire et compléter le tableau suivant, sans justifier les réponses :

Pour les trois questions suivantes, tous les résultats seront arrondis à 0,001 près.

On choisit au hasard l'un des élèves de ce lycée, tous les élèves ayant la même probabilité d'être choisis. On considère les évènements suivants :
$A$ : « L'élève a été vacciné » ;
$B$ : « L'élève a eu la grippe » ;
$C$ : « L'élève a été vacciné et a eu la grippe ».

a) Calculer la probabilité des événements $A$ , $B$ et $C$ .
b) Calculer la probabilité de l’événement $A\cup B$ .

On choisit au hasard un des élèves vaccinés. Calculer la probabilité de l'événement : « L'élève a eu la grippe ».
On choisit au hasard un des élèves non vaccinés. Calculer la probabilité de l'événement : « L'élève a eu la grippe ».
Expliquer pourquoi on peut en déduire que ce vaccin a été efficace pour les élèves de ce lycée.

Révéler le corrigé

Le nombre d'élèves vaccinés est 300, donc le nombre d'élèves non vaccinés est : $1280-300=980$ .
Parmi les 300 vaccinés, 3 % ont la grippe soit 9 élèves. Il est alors aisé de terminer de compléter le tableau.
a) Les résultats sont arrondis à 0,001 près comme demandé :
$P(A)=\dfrac{300}{1280}\approx\boxed{0,234}$
$P(B)=\dfrac{128}{1280}=\boxed{0,100}$
$P(C)=\dfrac{9}{1280}\approx\boxed{0,007}$
b) $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=P(A)+P(B)-P(C)\approx\boxed{0,327}$
La probabilité demandée, par lecture directe dans le tableau, vaut : $\dfrac{9}{300}=\boxed{0,03}$
La probabilité demandée, par lecture directe dans le tableau, vaut : $\dfrac{119}{980}\approx\boxed{0,121}$
La probabilité trouvée au 3. est inférieure à celle obtenue en 4., d'où le constat.

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