Second degré : forme canonique et factorisation

Exercice 1

Dans cet exercice, on va utiliser la forme canonique .
$2x^2 + 10x - 3$
$= 2\left(x^2 + 5x - \dfrac{3}{2}\right)$
$= 2\left[\left(x + \dfrac{5}{2}\right)^2 - \dfrac{25}{4} - \dfrac{3}{2}\right]$
$= 2\left[\left(x + \dfrac{5}{2}\right)^2 - \dfrac{31}{4}\right]$
$= 2\left(x + \dfrac{5}{2} - \dfrac{\sqrt{31}}{2} \right)\left(x + \dfrac{5}{2} + \dfrac{\sqrt{31}}{2}\right)$

Exercice 2

1. $f(x) = 2x^2 - 8x + 6 \quad a = 2 \quad b = -8 \quad c = 6$
   on met a en facteur : $f(x) = 2({\red{x^2 - 4x}} + 3)$
   ${\red{x^2 - 4x}}$ est le début d'une identité remarquable : $(x-2)^2 = x^2- 4x+4$ et donc ${\red{x^2 - 4x}} = (x-2)^2 - 4$
   $f(x) = 2x^2 - 8x + 6$

   $\phantom{f(x)}= 2(x^2 - 4x + 3)$

   $\phantom{f(x)}= 2((x-2)^2- 4 + 3)$

   $\phantom{f(x)}= 2((x-2)^2 - 7)$

   $\phantom{f(x)}= 2(x-2)^2 - 14$

2. $f(x) = -x^2 - \dfrac 2 3 x - \dfrac 1 9 \quad a = -1 \quad b = - \dfrac 2 3 \quad c = - \dfrac 1 9$
   on met $a=-1$ en facteur : $f(x) = - \left(x^2 + \dfrac 2 3x + \dfrac 1 9\right)$
   or $\dfrac 1 9 = \left(\dfrac 1 3\right)^2$,

   et ainsi $x^2 + \dfrac 2 3 x + \dfrac 1 9= x^2 + 2\times \dfrac 1 3 x +\left(\dfrac 1 3\right)^2 = \left(x + \dfrac 1 3\right)^2$ identité remarquable
   d'où $f(x) = - \left(x^2 + \dfrac 2 3 x + \dfrac 1 9\right) = - \left(x + \dfrac 1 3\right)^2$
   $\longrightarrow$ remarque : sur cet exemple, $\beta=0$

$f(x) = \left(\dfrac 5 2\right)x^2 + 15x + 30$
on met $a=\dfrac 52$ en facteur :

$f(x) = \left(\dfrac 5 2\right) ({\red{x^2 + 6x}} + 12)$
${\red{x^2 + 6x}}$ est le début d'une identité remarquable :
$\left(x + \left(\dfrac 6 2\right)\right)^2 = (x + 3)^2 = x^2 + 6x + 9$
et donc ${\red{x^2 + 6x}} = (x + 3)^2 - 9$d'où

$f(x) = \dfrac 5 2 ({\red{x^2 + 6x}} + 12)$

$\phantom{f(x)}= \dfrac 5 2 ((x + 3)^2 - 9 + 12)$

$\phantom{f(x)}= \dfrac 5 2((x + 3)^2 + 3)$

$\phantom{f(x)}= \dfrac 5 2(x + 3)^2 + 15/2$

Exercice 3

Pour factoriser une expression, il faut commencer par trouver un facteur commun, s'il n'y en a pas, penser aux identités remarquables. En première, une nouvelle méthode apparaît pour factoriser les trinômes :
on cherche les racines du trinôme.

a) $P(x) = 9x^2 + 4x - 5$
Dans ce cas, pas de facteur commun, on n'a pas d'identités remarquables.

On cherche donc les racines du trinôme :
$\Delta = 4^2 - 4 \times 9 \times (-5) = 196 = 14^2$
$x_1 = (-4 - 14)/18 = -1$ $x_2 = (-4 + 14)/18 = 5/9$
On peut donc factoriser le trinôme :
P(x) = $9(x + 1)(x - (5/9)) = (x + 1)(9x - 5)$

b) $P(x) = x^2 + 2x - 3$
Dans ce cas, pas de facteur commun, on n'a pas d'identités remarquables. On cherche donc les racines du trinôme :
$\Delta = 2^2 - 4 \times1 \times(-3)= 16 = 4^2$
$x_1 = (-2 - 4)/2 = -3$ $x_2 = (-2 + 4)/2 = 1$
On peut donc factoriser le trinôme :
P(x) = $(x + 3)(x - 1)$

c) $P(x) = x^2 + x + 1$
Dans ce cas, pas de facteur commun, on n'a pas d'identités remarquables. On cherche donc les racines du trinôme :
$\Delta = 1^2 - 4 \times 1 \times 1 = -3$
$\Delta$ étant négatif, on ne pourra pas factoriser le polynôme dans $\mathbb{R}$.

d) $P(x) = 12x^2 + 7x$
On a un facteur commun $x$, d'où : P(x) = $x(12x + 7)$

e) P(x) = $3x^2 - 6x + 3$
On peut déjà factoriser par 3 et on voit apparaître une identité remarquable, d'où :
P(x) = $3(x^2 - 2x + 1)= 3(x - 1)^2$

Exercice 4

$f(x)=\dfrac{2x^2+3x-5}{x^2+x-2}$
La fonction $f$ e st définie si et seulement si $x^2+x-2\neq 0$
Déterminons les racines de $x^2+x-2=0$
Ce polynôme admet une racine évidente $x_1=1 \text{ car } 1+1-2=0$
or le produit des solutions est égal à $x_1\times x_2=\dfrac{-2}{1}$ d'où $x_2=-2$
$f$ est définie sur $\mathbb{R} \setminus \lbrace -2;1\rbrace$
$1$ et $2$ étant les racines du trinôme $x^2+x-2$, le trinôme peut être factorisé :
Rappel : $ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$

On obtient : $x^2+x-2=(x-1)(x+2)$

$f$ est simplifiable si $1$ ou $-2$ sont racines de $2x^2+3x-5$
$1$ est une racine évidente de $2x^2+3x-5 \text{ car } 2+3-5=0$
Déterminons $x_2$
Or $x_1\times x_2=1\times x_2=x_2=\dfrac{-5}{2}$
Le trinôme admet deux racines , sa factorisation peut s'écrire :
$2x^2+3x-5=2(x-1)(x+\dfrac{5}{2})=(x-1)(2x+5)$
Le numérateur et le dénominateur ont le facteur $(x-1)$ en commun , simplifions

Sur $\mathbb{R}$ \ $\lbrace -2;1\rbrace \quad f(x)=\dfrac{(x-1)(2x+5)}{(x-1)(x+2)}=\dfrac{2x+5}{x+2}$
Sur $\mathbb{R}$ \ $\lbrace -2;1\rbrace \quad f(x) =\dfrac{2x+5}{x+2}$

Exercice 5

$H(x) = x^2 - x - 2$
Calculons $H(2)$
$H(2) = 2^2 - 2 - 2 = 0$
Donc : $H(x) = H(x) - H(2)$
$H(x) = x^2 - x - 2 - (2^2 - 2 - 2)$
$H(x) = (x^2 - 2^2) - (x - 2)$
$H(x) = (x - 2)(x + 2) - (x - 2)$
$H(x) = (x - 2)(x + 2 - 1)$
$H(x) = (x - 2)(x + 1)$

Exercice 6

$R(x) = x^3 + 2x^2 - 5x - 6$
Mais $R(2) = 2^3 + 2 \times 2^2 - 5 \times 2 - 6 = 0$
Donc : $R(x) = R(x) - R(2)$
$R(x) = x^3 + 2x^2 - 5x - 6 - (2^3 + 2 \times 2^2 - 5 \times 2 - 6)$
$R(x) = (x^3 - 2^3) + 2(x^2- 2^2) - 5(x - 2)$
$R(x) = (x - 2)(x^2 + 2x + 4) + 2(x - 2)(x + 2) - 5(x - 2)$
$R(x) = (x - 2)(x^2 + 2x+ 4 + 2x + 4 - 5)$
$R(x) = (x - 2)(x^2 + 4x + 3)$

👉 Pour aller plus loin, une autre méthode
On prend :
$Z(x) = x^2 + 4x + 3$
$0 = Z(-1) = (-1)^2 + 4 \times (-1) + 3$

$Z(x) = Z(x) - Z(-1) = (x^2 - (-1)^2) + 4(x - (-1))$
$Z(x) = (x - 1)(x + 1) + 4(x + 1)$
$Z(x) = (x + 1)(x + 3)$

Donc pour reprendre R(x) :
$R(x) = x^3 + 2x^2 - 5x - 6$
$R(x) = (x - 2)(x^2 + 4x + 3)$
$R(x) = (x - 2)(x + 1)(x + 3)$