Polynômes : exercices d'entraînement

Exercice 1

Le volume d'un cube de coté $x$ a pour valeur $x^3$.
Additionnons les volumes des trois cubes ayant pour arêtes $x, \hspace{10pt} x + 1, \hspace{10pt} x + 2$ et appelons V ce volume :
$\text{V} = x^3 + (x + 1)^3 + (x + 2)^3\\ \text{V} = x^3 + (x^2 + 2x + 1)(x + 1) + (x^2 + 4x + 4)(x + 2)\\ \text{V} = x^3 + x^3 + x^2 + 2x^2 + 2x + x + 1 + x^3 + 2x^2 + 4x^2 + 8x + 4x + 8\\ \text{V} = 3x^3 + 9x^2 + 15x + 9$
Calculons le volume V' du cube ayant pour arête $x + 3$ :
$\text{V'} = (x + 3)^3\\ \text{V'} = (x^2 + 6x + 9)(x + 3)\\ \text{V'} = x^3 + 3x^2 + 6x^2 + 18x + 9x + 27\\ \text{V'} = x^3 + 9x^2 + 27x + 27$

On recherche $x$ tel que $V = V'$, soit :
$3x^3 + 9x^2 + 15x + 9 = x^3 + 9x^2 + 27x + 27\\ 2x^3 - 12x - 18 = 0\\ x^3 - 6x - 9 = 0 (1)$

$3$ est une racine évidente de $x^3 - 6x - 9$, donc $x^3 - 6x - 9$ s'écrit également $(x - 3)(ax^2 + bx + c)$ car l'écriture polynomiale est unique.

Développons $(x - 3)(ax^2 + bx + c)$ :
$(x - 3)(ax^2 + bx + c) = ax^3 + bx^2 + cx - 3ax^2 - 3bx - 3c \\ = ax^3 + (b - 3a)x^2 + (c - 3b) - 3c$

Identifions les coefficients :
$a = 1$
$b - 3a = 0 \Longleftrightarrow b = 3$
$-3c = -9 \Longleftrightarrow c = 3$
$c - 3b = 3 - 3 \times 3 = -6$

On en déduit : $x^3 - 6x - 9 = (x - 3)(x^2 + 3x + 3)$
Factorisons $x^2 + 3x + 3$ par la méthode du discriminant :
$\Delta = b² - 4ac = 9 - 4 \times 1 \times 3 = -2$
$\Delta$ étant négatif, $x^2 + 3x + 3$ est toujours du signe de $a$ : positif. Ce polynôme n'admet pas de racine réelle.
(1) peut s'écrire : $(x - 3)(x^2 + 3x + 3) = 0$, ce qui équivaut à $x = 3$.

Pour que le contenu des trois cubes d'arêtes $x, \hspace{10pt} x + 1, \hspace{10pt} x + 2$ remplisse exactement le cube d'arête $x + 3$, il faut que $x$ soit égal à 3.

Exercice 2

1. $0^4 - 5 \times 0^3 + 6 \times 0^2 - 5 \times 0 + 1 = 1 \neq 0$
   0 n'est donc pas solution de l'équation (E).

2. $\dfrac{1}{x_0^4} - \dfrac{5}{x_0^3} + \dfrac{6}{x_0^2} - \dfrac{5}{x_0} + 1 = \dfrac{1 - 5x_0 + 6x_0^2 - 5x_0^3 + x_0^4}{x_0^4}$
   Or, x$_0$ est solution de l'équation (E), donc : x$_0^4$ - 5x$_0^3$ + 6x$_0$² - 5x$_0$ + 1 = 0.
   Donc : $\dfrac{1}{x_0^4} - \dfrac{5}{x_0^3} + \dfrac{6}{x_0^2} - \dfrac{5}{x_0} + 1 = 0$
   D'où : si x$_0$ est solution de (E), alors $\dfrac{1}{x_0}$ est solution de (E).

3. $x^4 - 5x^3 + 6x² - 5x + 1 = 0$
   équivaut à $x^2 - 5x + 6 - \dfrac{5}{x} + \dfrac{1}{x^2} = 0$

4. $\left(x + \dfrac{1}{x}\right)^2 = x^2 + 2 x \times \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x^2} = x^2 + \dfrac{1}{x^2} + 2$

5. Posons $X = x + \dfrac{1}{x}$, donc :
   $x^2 - 5x + 6 - \dfrac{5}{x} + \dfrac{1}{x^2} = 0$ équivaut à
   $x^2 + \dfrac{1}{x^2} - 5\left(x + \dfrac{1}{x}\right) + 6 = 0$
   $X² - 2 - 5X + 6 = 0$
   $X² - 5X + 4 = 0$

6. Résolvons l'équation $X^2 - 5X + 4 = 0.$
   $\Delta = (-5)^2 - 4 \times 1 \times 4 = 9 = 3^2$
   L'équation admet donc deux solutions :
   $X_1 = \dfrac{5 - 3}{2} = 1$ et $X_2 = \dfrac{5 + 3}{2} = 4$
   Or $X = x + \dfrac{1}{x}$, donc :
   $x + \dfrac{1}{x} = 1$ ou $x + \dfrac{1}{x} = 4$
   $x + \dfrac{1}{x} = 1$ équivaut à $\dfrac{x^2 + 1 - x}{x} = 0$
   soit : $x² - x + 1 = 0$
   $\Delta = (-1)^2 - 4 \times 1 \times 1 = -3$
   L'équation n'admet donc pas de solution dans $\mathbb{R}$.
   $x + \dfrac{1}{x} = 4$ équivaut à $\dfrac{x^2 + 1 - 4x}{x} = 0$
   soit : $x² - 4x + 1 = 0$
   $\Delta = (-4)^2 - 4 \times 1 \times 1 = 12$
   L'équation n'admet donc deux solutions :
   $x_1 = \dfrac{4 - \sqrt{12}}{2} = 2 - \sqrt{3}$ et $x_2 = \dfrac{4 + \sqrt{12}}{2} = 2 + \sqrt{3}$
   D'où : $\boxed{S = \lbrace 2 - \sqrt{3}~; 2 + \sqrt{3}\rbrace}$.

Exercice 3

1. $\Delta = b^2 - 4a^2$
   Si $\Delta > 0$ alors l'équation $f(x) = 0$admet deux racines distinctes $x'$ et $''$, avec
   $x' = \dfrac{-b+\sqrt{b^{2}-4a^{2}}}{2a}$ et $x'' = \dfrac{-b-\sqrt{b^{2}-4a^{2}}}{2a}$
   $x' \times x'' = \left( \dfrac{-b+\sqrt{b^{2}-4a^{2}}}{2a} \right)\times \left( \dfrac{-b-\sqrt{b^{2}-4a^{2}}}{2a} \right)$
   $x' \times x'' = \dfrac{(-b)^{2}-(b^{2}-4a^{2})}{(2a)^{2}} = \dfrac{4a^{2}}{4a^{2}} = 1$

2.a. $f(0) = a$ et $a$ différent $0$ ; donc $0$ n'est pas solution de l'équation $f(x) = 0$.
Si $x_1$ est solution de $f(x) = 0$ alors $f(x_1) = 0$ et $x_1$ différent $0$.

$f(\frac{1}{x{1}}) = a(\frac{1}{x{1}} )^{3} + b (\frac{1}{x{1}} )^{2} + b(\frac{1}{x_{1}} ) + a$

$f(\frac{1}{x_{1}}) = \dfrac{a + bx_{1} + b (x_{1})^{2} + b(x_{1})^{3} + a(x_{1})^{3}}{(x_{1})^{3}} = \dfrac{f(x_{1})}{(x_{1})^{3}} = 0$
Donc $\dfrac{1}{x_{1}}$ est solution de $f(x) = 0$.

2.b. $f(-1) = -a +b-b+a = 0$ ; donc $-1$ est solution de $f(x) = 0$.
On cherche à factoriser $f(x)$ par $(x+1)$:

$f(x) =a (x^3+1) + bx (x+1)$

$= a (x+1)(x^2-x +1) + bx (x+1)$

$= (x+1)(ax^2 - ax + a + bx)$

$= (x+1)(ax^2 +(b-a)x + a)$

$ax^2 +(b-a)x + a$ est un polynôme de degré $2$ car $a$ est non nul.
$\Delta= (b-a)^2 - 4a^2 = (b-a -2a)(b-a+2a) = (b-3a)(b+a)$

Selon le signe de $\Delta$, l'équation aura $1$, $2$ ou $3$solutions.
--> RQ : Attention en toute rigueur, il faudrait regarder si ces solutions sont égales à $-1$ ou pas.

2.c. $f(x) =7x^3 - 43x^2 - 43x + 7 = (x+1) (7x^2 - 50x + 7)$
Le discriminant de $7x^2 - 50x + 7$ est égal à $48^2$.
On en déduit ses deux racines : $-7$ et $-1/7$.
Les solutions de l'équation $f(x) = 0$ sont donc $-1$, $-7$ et $-1/7$.

2.a. $f(0) = a$ et $a$ différent $0$ ; donc $0$ n'est pas solution de l'équation $f(x) = 0$.
Si $x_1$ est solution de $f(x) = 0$ alors $f(x_1) = 0$et $x_1$ différent $0$.

$f(\frac{1}{x{1}}) = a(\frac{1}{x{1}} )^{4} + b (\frac{1}{x{1}} )^{3} + c (\frac{1}{x_{1}} )^{2}+ b(\frac{1}{x_{1}} ) + a$

$f(\frac{1}{x_{1}}) = \dfrac{a + bx_{1} + c (x_{1})^{2} + b(x_{1})^{3} + a(x_{1})^{4} }{(x_{1})^{4}} = \dfrac{f(x_{1})}{(x_{1})^{4}} = 0$

Donc $\dfrac{1}{x_{1}}$ est solution de $f(x) = 0$.

2.b. $y^{2} = \left(x+\dfrac{1}{x} \right)^{2} = x^{2} + 2 + \left(\dfrac{1}{x} \right)^{2}$ ; donc $x^{2} + \left(\dfrac{1}{x} \right)^{2} = y^{2} - 2$ .
$g(x) = \dfrac{f(x)}{x^{2}} = ax^{2} + bx + c + b\times \dfrac{1}{x} + a\times \dfrac{1}{x^{2}}$
$g(x) = \dfrac{f(x)}{x^{2}} = a\left( x^{2} + \dfrac{1}{x^{2}}\right)+ b \left(x +\dfrac{1}{x} \right) + c = a(y^{2} - 2) + by + c$
$g(x) = \dfrac{f(x)}{x^{2}} = ay^{2} + by + c-2a$

Résoudre $f(x)=0$ revient à résoudre d'abord cette équation de degré 2 : $ay^{2} + by + c-2a = 0$ .

Puis, si elle a des solutions, pour chacune de ses solutions $y_0$ , il reste à résoudre $\left(x+\dfrac{1}{x} \right) = y_0$
L'équation $\left(x+\dfrac{1}{x} \right) = y_0$ est équivalente à cette équation de degré 2 : $x^{2} - y_{0}x + 1 = 0$ .
Le discriminant de l'équation $ay^{2} + by + c-2a = 0$ est $b$^2$- 4a(c-2a)$.
Il est négatif si $b^2 < 4a(c-2a)$. L'équation f$(x) = 0$ n'a alors pas de solution.

3.c. $f(x) = 12x^4 + 11x^3 -146x^2 + 11x + 12$
On commence par résoudre $12y^2 + 11y -170 = 0$.
On trouve 2 solutions réelles : $-17/4$ et $10/3$.
On a ensuite à résoudre 2 équations de degré 2 :
$x^2 - (-17/4)x + 1 =0$
$x^2 - (10/3)x + 1 =0$
On en déduit que l'équation $f(x) = 0$ a quatre solutions réelles : $1/4$, $4$, $1/3$et $3$.