Second degré : Signe du trinôme et inéquations dans R

Exercice 1

Partie I
identité remarquable $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$ ; on factorise

1. $(2x-1)^2 - 4(x-2)^2 = (2x-1)^2 - (2(x-2))^2 = (2x-1-2x+4)(2x-1+2x-4) = 3(4x-5)$ → Réponse B

2. $4(x-1)^2-(x-3)^2 = (2(x-1))^2-(x-3)^2 = (2x-2-x+3)(2x-2+x-3)= (x+1)(3x-5)$ → Réponse A

Partie II
Il ne s'agit pas ici de rédiger la résolution des équations, mais de choisir judicieusement la solution parmi celles proposées.

3. $5x^2 - 20x = 0$ par calcul mental :
   0 est racine évidente, on élimine la réponse B
   3 n'est pas racine, mais $5 \times 4^2 - 20 \times 4 = 80-80=0$ → Réponse C

4. $3x^2 + 27 = 0$
   on sait qu'un carré est toujours positif, quel que soit $x$
   la somme de 27 et d'un nombre positif ou nul ne sera jamais nulle → Réponse C

5. identité remarquable $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$ ; on factorise :
   $(3(3x+5))^2 - (x-1)^2 = (9x+15-x+1)(9x+15+x-1) = (8x+16)(10x+14) = 16(x+2)(5x+7)$
   on résout l'équation produit nul par calcul mental : racines -2 et -7/5 → Réponse B

6. identité remarquable de type $(a+b)^2$
   $(2x+1)^2$ racine double $-1/2$ → Réponse A

Partie III

7. $5x^2-20x \le 0$ ; $a=5$, $b=-20$, $c=0$ → Réponse B
   les valeurs strictement négatives de $x$ ne conviennent pas car $-20x$ serait alors positif, et $5x^2$ étant toujours positif, la somme serait positive : la réponse C ne convient pas.
   par calcul mental, on vérifie que 0 et 4 sont racines de $5x^2-20x$.
   d'après la règle du signe du trinôme, $5x^2-20x$ est du signe de $-a$ (négatif) à l'intérieur des racines → Réponse B

8. on récupère la factorisation de la question 1)
   l'inéquation est donc équivalente à $3(4x-5)\ge 0$, équivalente à $4x-5\ge 0$. Fonction affine de racine 5/4
   d'après la règle du signe d'une fonction affine, $4x-5$ est positif après 5/4 → Réponse C

9. on récupère la factorisation de la question 2)
   l'inéquation est équivalente à $(x+1)(3x-5)\ge 0$, dont les racines sont -1 et 5/3, et le coefficient $a$ du trinôme factorisé est 3 > 0.
   d'après la règle du signe du trinôme, $(x+1)(3x-5)$ est positif à l'extérieur des racines → Réponse C

10. $(x-1)^2 \ge 0$
    un carré est toujours positif (ou nul), tout réel est solution → Réponse A

Exercice 2

1. $\Delta = 0$ donc $8x^2 + 8x + 2$ est du signe de $a$ donc $8x^2 + 8x + 2$ est positif ou nul

2. $\Delta < 0$ donc $2x^2 - 3x + 2$ est strictement du signe de $a$ donc $2x^2 - 3x + 2$ est positif

3. $\Delta > 0$ donc $-x^2 -3x + 10$ est du signe de $a$ à l'extérieur des racines et du signe de $-a$ à l'intérieur.
   Or $-x^2 -3x + 10$ admet comme racines 2 et -5
   Donc $-x^2 -3x + 10 > 0$ lorsque $x \in ]-5;2[$
   $-x^2 -3x + 10 < 0$ lorsque $x \in ]-\infty;-5[ \cup ]2;+\infty[$
   $-x^2 -3x + 10 = 0$ lorsque $x=-5$ ou $x=2$
   $f_3(-7)<0$, $f_3(1/2)>0$, $f_3(148)<0$

Exercice 3

1. $2x^2+7x-4 \ge 0$
   $\Delta=7^2-4(2)(-4)=81=9^2$ donc deux racines distinctes
   $x_1=\dfrac{-7-9}{4}=-4$ et $x_2=\dfrac{-7+9}{4}=\dfrac{1}{2}$
   D'après la règle du signe du trinôme, $2x^2+7x-4$ est positif à l'extérieur des racines
   $S=]-\infty;-4]\cup[1/2;+\infty[$

2. $x^2-15x+50<0$
   $\Delta=15^2-4(1)(50)=25=5^2$ donc $x_1=5$, $x_2=10$
   D'après la règle du signe du trinôme, $x^2-15x+50$ est négatif entre les racines
   $S=]5;10[$

3. $3x^2+20x+50>0$
   $\Delta=20^2-4(3)(50)=-200<0$ donc pas de racines
   Le polynôme est toujours du signe de $a=3>0$ → toujours positif
   $S=\mathbb{R}$

4. $\dfrac{2}{x-3}+\dfrac{4}{x-2}\le 0$
   domaine défini sur $\mathbb{R}\setminus{2;3}$
   Réduction : $\dfrac{2(x-2)+4(x-3)}{(x-3)(x-2)}\le 0$
   $\dfrac{2(3x-8)}{(x-3)(x-2)}\le 0$
   le numérateur s'annule pour $x=8/3$
   En étudiant le signe, on trouve : $S=]-\infty;2[\cup]8/3;3[$

Exercice 4

a) $S = \left]-\infty; -\dfrac{3 - \sqrt{13}}{2}\right] \cup \left[\dfrac{-3 + \sqrt{13}}{2}; + \infty\right[$

b) $S = \emptyset$

c) $S = {5}$

d) $S = \left[-\dfrac{\sqrt{3}}{3}; \dfrac{\sqrt{3}}{3}\right]$

e) $S = ]-\infty;0]\cup[1;+\infty[$

f) $S = \left]-\infty; -\dfrac{7+\sqrt{53}}{2}\right[ \cup \left]\dfrac{-7+\sqrt{53}}{2};+\infty\right[$

g) $S=[-4;4]$

h) $S=]-\infty;-2\sqrt{2}[\cup]2\sqrt{2};+\infty[$

Exercice 5

a) $(x^2 - x)(2x + 1) = x(x-1)(2x+1)$
$S = \left[-\dfrac{1}{2};0\right]\cup[1;+\infty[$

b) $S = ]-\infty;-2]\cup[1;9[$

c) $S=]-3;-2]\cup[1;3[$

On remarque que $x^2+2x+2=(x+1)^2+1>0$ pour tout $x$.
Donc le signe est celui de $(x^2-2x-3)=(x-3)(x+1)$.
Le produit est négatif entre -1 et 3.
$S = ]-1;3[$

d) $(x+1)(x+2) \ge (2x+1)(3x+1)$

Développons : $(x+1)(x+2)=x^2+3x+2$ et $(2x+1)(3x+1)=6x^2+5x+1$
L’inéquation devient $x^2+3x+2 \ge 6x^2+5x+1$
$\Longleftrightarrow -5x^2-2x+1 \ge 0$
$\Longleftrightarrow 5x^2+2x-1 \le 0$

On résout : $\Delta=2^2-4(5)(-1)=24$
$\sqrt{\Delta}=2\sqrt{6}$
$x_1=\dfrac{-2-2\sqrt{6}}{10}=\dfrac{-1-\sqrt{6}}{5}$
$x_2=\dfrac{-2+2\sqrt{6}}{10}=\dfrac{-1+\sqrt{6}}{5}$
Comme $a=5>0$, la parabole est tournée vers le haut.
Donc $S=\left[\dfrac{-1-\sqrt{6}}{5};\dfrac{-1+\sqrt{6}}{5}\right]$

Exercice 6

1. $\left\lbrace \begin{matrix} -x^2+x+2>0\ -4x+3 \leq 0 \end{matrix}\right.$

On a trouvé : $S=\left[\dfrac{3}{4};2\right[$

2. $\left\lbrace \begin{matrix} -x^2+x+1>0\ -2x+5<0 \end{matrix}\right.$

D’après l’étude des signes : $S=\emptyset$

3. $6 \le 2x^2-3x-3 \le 17$

On a :
$\left\lbrace \begin{matrix} 2x^2-3x-9 \ge 0 \ 2x^2-3x-20 \le 0 \end{matrix}\right.$

Facteur : $2(x+\dfrac{3}{2})(x-3)\ge0$ et $2(x+\dfrac{5}{2})(x-4)\le0$
Après étude de signes, $S=\left[-\dfrac{5}{2};-\dfrac{3}{2}\right]\cup[3;4]$

Exercice 7

1. $2x^2-3x+2<0$

$\Delta=(-3)^2-4(2)(2)=9-16=-7<0$
Pas de racine, parabole tournée vers le haut ($a=2>0$).
Donc le polynôme est toujours positif.
$S=\emptyset$

2. $8x^2+8x+2 \le 0$

$\Delta=8^2-4(8)(2)=64-64=0$
Racine double : $x=-\dfrac{8}{16}=-\dfrac{1}{2}$
Donc le polynôme est $\ge0$ partout et nul seulement en $x=-1/2$.
$S={-1/2}$

3. $-x^2-3x+10<0$

On résout $-x^2-3x+10=0$ soit $x^2+3x-10=0$
$\Delta=3^2-4(1)(-10)=9+40=49$
Racines : $x_1=\dfrac{-3-7}{2}=-5$, $x_2=\dfrac{-3+7}{2}=2$
Comme $a=-1<0$, la parabole est tournée vers le bas.
Donc $-x^2-3x+10<0$ à l’extérieur de l’intervalle $[-5;2]$.
$S=]-\infty;-5[\cup]2;+\infty[$