Équations du second degré : nombre d'or et fonction rationnelle

Exercice 1

1. Soit l'équation $x^2 - x - 1 = 0$

$\Delta = (-1)^2-4\times 1\times (-1) = 5 > 0$ d'où 2 racines distinctes $\dfrac{1-\sqrt 5}{2} < 0 \text{ et } \dfrac{1+\sqrt 5}{2}=\phi > 0$

2. a. $\phi$ est solution de l'équation $x^2 - x - 1 = 0$ ; donc $\phi^2 - \phi - 1 = 0$, soit $\phi^2 = \phi + 1$ $\phi^3 =\phi\cdot \phi^2 = \phi(\phi+ 1) =\phi^2 + \phi = \phi+1 +\phi = 2\phi+ 1$ $\phi^4 = \phi\cdot \phi^3 = \phi(2\phi+ 1) = 2\phi^2 + \phi = 2(\phi+1) +\phi= 3\phi+ 2$ $\phi^5 = \phi\cdot \phi^4 = \phi(3\phi + 2) = 3\phi^2 + 2\phi= 3(\phi+1) + 2\phi = 5\phi + 1$

2. b. on a établi précédemment que $\phi^2 =\phi + 1$ par ailleurs $\phi^2 - \phi- 1 = 0 \Longleftrightarrow \phi(\phi-1) = 1 \Longleftrightarrow \dfrac{1}{\phi}= \phi-1$ donc $(1/\phi)^2 = (\phi-1)^2 = \phi^2 - 2\phi + 1 = \phi + 1 - 2\phi + 1 = 2 - \phi$

Exercice 2

1. $f$ n'est pas définie si les dénominateurs s'annulent, c'est-à-dire : $x^2 - 1 = 0 \text{ et } x^2 + x - 2 = 0$ $x^2 - 1 = 0 \Longleftrightarrow (x - 1)(x + 1) = 0 \Longleftrightarrow x = 1 \text{ ou } x = -1$ $x^2 + x - 2 = 0$

Calculons le discriminant : $\Delta = 1 - 4 \times (-2) = 9$

Le polynôme admet donc deux racines : $x_1 = \dfrac{-1 - \sqrt9}{2} = -2$ et $x_2 = \dfrac{-1 + \sqrt9}{2} = 1$

Donc les deux valeurs interdites liées au polynôme $x^2 + x - 2$ sont -2 et 1.

D'où : $D_f = \mathbb{R} \backslash \lbrace -2; -1; 1 \rbrace$

2. D'après la question précédente, nous pouvons en déduire : $x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) \text{ et } x^2 + x - 2 = (x - 1)(x + 2)$

3. a) Le dénominateur commun aux fractions rationnelles $\dfrac{2x^2}{x^2-1}$ et $\dfrac{3}{x^2+x-2}$ est donc : $(x - 1)(x + 1)(x + 2)$, donc $f$ s'écrit également : $f(x) = \dfrac{2x^2(x + 2)}{(x - 1)(x + 1)(x + 2)} - \dfrac{3(x + 1)}{(x - 1)(x + 1)(x + 2)}\\ f(x) = \dfrac{2x^2(x+2) - 3(x+1)}{(x-1)(x+1)(x+2)}\\ f(x) = \dfrac{2x^3+4x^2-3x-3}{(x-1)(x+1)(x+2)}$

Nous avons donc :

$g(x) = 2x^3 + 4x^2 - 3x - 3 \text{ et } h(x) = (x - 1)(x + 1)(x + 2)$

3. b) Une racine évidente de $g$ est $1$, car $2 + 4 - 3 - 3 = 0$

g($x$) est donc factorisable par $(x - 1)$ et, comme l'écriture polynomiale est unique, $g$ peut s'écrire : $g(x) = (x - 1)(ax^2 + bx + c)$

Déterminons a, b et c :

$(x - 1)(ax^2 + bx + c) = ax^3 + bx^2 + cx - ax^2 - bx - c$

$\phantom{(x - 1)(ax^2 + bx + c)}= ax^3 + (b - a)x^2 + (c - b)x - c$

mais $g(x) = 2x^3 + 4x^2 - 3x - 3$

Identifions les coefficients à l'aide des équations suivantes :

$a = 2$

$b - a = 4$ donc $b=6$

$c-b=-3$ donc $c=3$

ce qui est compatible avec la dernière condition.

D'où : Pour tout réel $x$, $g(x) = (x - 1)(2x^2 + 6x + 3)$

3. c) On peut donc en déduire que $f$ s'écrit :

Pour tout réel $x$ appartenant à $D_f$,

$f(x) = \dfrac{(x - 1)(2x^2 + 6x + 3)}{(x - 1)(x + 1)(x + 2)}$, soit $f(x) = \dfrac{2x^2 + 6x + 3}{(x + 1)(x + 2)}$

Résolvons l'équation $f(x) = 0$ : $f(x) = 0 \Longleftrightarrow \dfrac{2x^2 + 6x + 3}{(x+1)(x+2)} = 0$

L'ensemble de définition de cette équation est $\mathbb{R} \backslash \lbrace -1; -2 \rbrace$. $2x^2 + 6x + 3 = 0 \Longleftrightarrow x^2 + 3x + \dfrac{3}{2} = 0$

Utilisons la méthode du discriminant : $\Delta = 9 - 4 \times 1 \times \dfrac{3}{2} = 9 - 6 = 3$

Les deux racines sont donc : $x_1 = \dfrac{-3-\sqrt3}{2} \text{ et } x_2 = \dfrac{-3+\sqrt3}{2}$.

Elles appartiennent toutes deux à l'ensemble de définition de l'équation.

D'où : les solutions de l'équation $f(x) = 0$ sont : $\left \lbrace \dfrac{-3-\sqrt3}{2} ; \dfrac{-3+\sqrt3}{2} \right \rbrace$