Résoudre des équations du type cos(x)=...

Exercice 1

$cos x = \dfrac{1}{2}$

On reconnaît : $\dfrac{1}{2} = cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)$

Formule :

$\cos ~U = \cos ~V \iff U = V + 2k\pi$ ou $U = -V + 2k\pi$

Donc :

$x = \dfrac{\pi}{3} + 2k\pi$
ou
$x = -\dfrac{\pi}{3} + 2k\pi$

👉 Conseil : pour le cosinus, la deuxième solution est $-V$.

Exercice 2

$\cos x = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

On reconnaît : $-\dfrac{\sqrt{2}}{2} = \cos\left(\dfrac{3\pi}{4}\right)$

Donc :

$x = \dfrac{3\pi}{4} + 2k\pi$
ou
$x = -\dfrac{3\pi}{4} + 2k\pi$

Exercice 3

$\cos(2x) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$

On reconnaît : $\dfrac{\sqrt{3}}{2} = \cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right)$

Donc :

$2x = \dfrac{\pi}{6} + 2k\pi$
ou
$2x = -\dfrac{\pi}{6} + 2k\pi$

On divise par 2 :

$x = \dfrac{\pi}{12} + k\pi$
ou
$x = -\dfrac{\pi}{12} + k\pi$

👉 Conseil : très fréquent au bac, pense à bien simplifier les fractions.

Exercice 4

$\cos(3x) = -\dfrac{1}{2}$

On reconnaît : $-\dfrac{1}{2} = cos\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)$

Donc :

$3x = \dfrac{2\pi}{3} + 2k\pi$
ou
$3x = -\dfrac{2\pi}{3} + 2k\pi$

On divise par 3 :

$x = \dfrac{2\pi}{9} + \dfrac{2k\pi}{3}$
ou
$x = -\dfrac{2\pi}{9} + \dfrac{2k\pi}{3}$

Exercice 5

Dans $[0~;~2\pi[$ : $\cos x = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

On reconnaît : $-\dfrac{\sqrt{3}}{2} = \cos\left(\dfrac{5\pi}{6}\right)$

Dans l’intervalle :

$x = \dfrac{5\pi}{6}$
et
$x = \dfrac{7\pi}{6}$

👉 Conseil : pour le cosinus, les solutions sont symétriques par rapport à l’axe vertical.