Sinus, cosinus et tangente selon le cadran du cercle trigonométrique

Exercice 1

On a l’identité $\cos^2 x+\sin^2 x=1$.

1. Ici $\sin x=\dfrac{3}{5}$, donc
   $\cos^2 x=1-\left(\dfrac{3}{5}\right)^2=1-\dfrac{9}{25}=\dfrac{16}{25}$, donc
   $\cos x=\dfrac{4}{5}$ ou $\cos x=-\dfrac{4}{5}$.

2. Comme $0~\le x~\le \dfrac{\pi}{2}$ (1er cadran), on a $\cos x\ge 0$, donc $\cos x=\dfrac{4}{5}$.
   On définit la tangente par $\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}$ (quand $\cos x\ne 0$).
   Alors $\tan x=\dfrac{\frac{3}{5}}{\frac{4}{5}}=\dfrac{3}{4}$.

Exercice 2

1. $\cos^2 x=1-\left(-\dfrac{4}{5}\right)^2=1-\dfrac{16}{25}=\dfrac{9}{25}$, donc
   $\cos x=\dfrac{3}{5}$ ou $\cos x=-\dfrac{3}{5}$.

2. Comme $\pi~\le x~\le \dfrac{3\pi}{2}$ (3e cadran), $\cos x\le 0$, donc $\cos x=-\dfrac{3}{5}$.
   $\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}=\dfrac{-\frac{4}{5}}{-\frac{3}{5}}=\dfrac{4}{3}$.

Exercice 3

1. $\cos^2 x=1-\left(\dfrac{5}{13}\right)^2=1-\dfrac{25}{169}=\dfrac{144}{169}$, donc
   $\cos x=\dfrac{12}{13}$ ou $\cos x=-\dfrac{12}{13}$.

2. Comme $\dfrac{\pi}{2}~\le x~\le \pi$ (2e cadran), $\cos x\le 0$, donc $\cos x=-\dfrac{12}{13}$.
   $\tan x=\dfrac{\frac{5}{13}}{-\frac{12}{13}}=-\dfrac{5}{12}$.

Exercice 4

1. $\cos^2 x=1-\left(-\dfrac{12}{13}\right)^2=1-\dfrac{144}{169}=\dfrac{25}{169}$, donc
   $\cos x=\dfrac{5}{13}$ ou $\cos x=-\dfrac{5}{13}$.

2. Comme $\dfrac{3\pi}{2}~\le x~\le 2\pi$ (4e cadran), $\cos x\ge 0$, donc $\cos x=\dfrac{5}{13}$.
   $\tan x=\dfrac{-\frac{12}{13}}{\frac{5}{13}}=-\dfrac{12}{5}$.

Exercice 5

1. $\sin^2 x=1-\cos^2 x=1-\left(\dfrac{8}{17}\right)^2=1-\dfrac{64}{289}=\dfrac{225}{289}$, donc
   $\sin x=\dfrac{15}{17}$ ou $\sin x=-\dfrac{15}{17}$.

2. Comme $\pi~\le x~\le \dfrac{3\pi}{2}$ (3e cadran), $\sin x\le 0$ et $\cos x\le 0$, donc $\sin x=-\dfrac{15}{17}$.
   $\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}=\dfrac{-\frac{15}{17}}{\frac{8}{17}}=-\dfrac{15}{8}$.