Pyramide et cône (1)

Exercice 1

Énoncé : Que peut-on dire d’une pyramide ayant pour base un triangle ?

Étape 1 : Compter les sommets
La base est un triangle, donc elle a 3 sommets.
Une pyramide a en plus un sommet principal (le sommet en haut).
Donc le nombre total de sommets est $3+1=4$.
👉 Conseil : base à 3 sommets $\rightarrow$ pyramide à $3+1$ sommets.

Étape 2 : Compter les faces
Il y a 1 face de base (le triangle).
Chaque côté du triangle donne une face latérale triangulaire, donc 3 faces latérales.
Donc le nombre total de faces est $1+3=4$.
👉 Conseil : nombre de faces latérales = nombre de côtés de la base.

Étape 3 : Compter les arêtes
Le triangle de base a 3 arêtes.
Chaque sommet de la base est relié au sommet principal : cela fait 3 arêtes latérales.
Donc le nombre total d’arêtes est $3+3=6$.
👉 Conseil : arêtes = arêtes de la base + arêtes qui montent vers le sommet.

Conclusion
La bonne réponse est A : Elle a 4 sommets, 4 faces et 6 arêtes.
👉 Conseil : une pyramide à base triangulaire s’appelle souvent un tétraèdre : “tétra” = 4 faces.

Exercice 2

Énoncé : Que peut-on dire d’une pyramide ayant pour base un polygone à n côtés ?

Étape 1 : Compter les sommets
La base est un polygone à $n$ côtés, donc elle possède $n$ sommets.
Une pyramide a un sommet principal en plus de la base.
Donc le nombre total de sommets est $n+1$.
👉 Conseil : pyramide = sommets de la base + 1 sommet au-dessus.

Étape 2 : Compter les faces
Il y a 1 face de base (le polygone).
Chaque côté du polygone donne une face latérale triangulaire, soit $n$ faces latérales.
Donc le nombre total de faces est $1+n=n+1$.
👉 Conseil : nombre de faces latérales = nombre de côtés de la base.

Étape 3 : Compter les arêtes
La base possède $n$ arêtes.
Chaque sommet de la base est relié au sommet principal, ce qui donne $n$ arêtes latérales.
Donc le nombre total d’arêtes est $n+n=2n$.
👉 Conseil : toujours séparer arêtes de la base et arêtes latérales.

Conclusion
La bonne réponse est C : Elle a $n+1$ sommets, $n+1$ faces et $2n$ arêtes.
👉 Conseil : si une formule contient uniquement $n+1$ et $2n$, c’est souvent un bon signe pour une pyramide.

Exercice 3

Énoncé : Le solide ci-dessous est un parallélépipède rectangle tel que AB = 3 cm, AD = 4 cm et AE = 3 cm. Quel est le volume de la pyramide AEFGH ?

Étape 1 : Identifier la pyramide AEFGH
La pyramide AEFGH a pour sommet A et pour base le rectangle EFGH (la face du bas du pavé).
👉 Conseil : dans le nom “AEFGH”, la première lettre est le sommet, les autres lettres forment la base.

Étape 2 : Calculer l’aire de la base EFGH
La base EFGH est un rectangle.
Dans un parallélépipède rectangle, les arêtes parallèles ont la même longueur :

• $EF$ a la même longueur que $AB$, donc $EF=3~\text{cm}$.

• $EH$ a la même longueur que $AD$, donc $EH=4~\text{cm}$.

Aire de la base : $A_{\text{base}}=EF\times EH=3\times4=12~\text{cm}^2$.
👉 Conseil : pour l’aire d’un rectangle, c’est toujours “longueur $\times$ largeur”.

Étape 3 : Identifier la hauteur de la pyramide
La hauteur est la distance du sommet $A$ au plan de la base $EFGH$.
Ici, c’est l’arête $AE$, donc $h=AE=3~\text{cm}$.
👉 Conseil : la hauteur doit être perpendiculaire à la base (dans un pavé droit, $AE$ est bien verticale).

Étape 4 : Calculer le volume
Volume d’une pyramide : $V=\frac{1}{3}\times A_{\text{base}}\times h$.

Donc $V=\frac{1}{3}\times12\times3=12~\text{cm}^3$.
👉 Conseil : pense au facteur $\frac{1}{3}$ : une pyramide “prend” un tiers du volume du prisme de même base et même hauteur.

Conclusion
La bonne réponse est B : $12~\text{cm}^3$.

Exercice 4

Énoncé : Lequel de ces patrons correspond à la pyramide AEFGH de la question précédente ?

Étape 1 : Rappeler la forme de la pyramide AEFGH
La pyramide AEFGH a :

• un sommet : $A$

• une base : le rectangle $EFGH$
  👉 Conseil : dans un patron de pyramide, on doit toujours retrouver la base (ici un rectangle) et 4 faces triangulaires autour.

Étape 2 : Compter ce qu’il faut dans le patron
Comme la base est un rectangle, le patron doit contenir :

• 1 rectangle (la base)

• 4 triangles (un triangle accroché à chacun des 4 côtés du rectangle)
  👉 Conseil : si un “patron” n’a pas 4 triangles autour du rectangle, ce n’est pas le bon.

Étape 3 : Utiliser les longueurs de la base
Dans la question précédente, la base $EFGH$ est un rectangle de côtés $3$ et $4$.
Donc, dans le patron :

• les triangles accrochés aux deux côtés opposés de même longueur doivent être de même taille (même base).
  👉 Conseil : côtés opposés d’un rectangle = mêmes longueurs, donc triangles “en face” avec la même base.

Étape 4 : Éliminer les patrons qui ne conviennent pas

• A : les triangles semblent tous identiques et le patron est trop “symétrique” pour une pyramide comme ici.
  👉 Conseil : un patron trop régulier correspond souvent à une pyramide “centrée”, ce qui n’est pas le cas ici.

• C : on voit un tracé qui ne correspond pas à 4 triangles simplement accrochés aux 4 côtés du rectangle.
  👉 Conseil : un patron de pyramide doit être constitué de faces entières, sans découpage “bizarre” à travers la base.

• D : les triangles accrochés à deux côtés opposés du rectangle n’ont pas la même taille, alors que ces deux côtés ont la même longueur.
  👉 Conseil : si les bases opposées du rectangle sont égales, les triangles attachés à ces bases doivent avoir la même base.

Conclusion
Le bon patron est B.
👉 Conseil : vérifie toujours “rectangle + 4 triangles”, puis compare les triangles placés sur des côtés opposés du rectangle.