Produit scalaire appliqué au travail d’une force : l’origine du cheval-vapeur

Dans tout l’exercice, on utilise trois idées de la leçon :

$\overrightarrow{P}=m\overrightarrow{g}$

$W_{A\to B}(\overrightarrow{F})=\overrightarrow{F}\cdot\overrightarrow{AB}$

$P_{\text{moy}}=\dfrac{W_{A\to B}}{\Delta t}$

👉 avant de calculer, il faut toujours repérer la grandeur demandée : ici on passe du poids, puis au travail, puis à la puissance.

1 : « Rappeler la relation donnant le poids $\overrightarrow{P}$ d’une masse $m$, puis l’appliquer à une masse de $75~\text{kg}$. »

La relation du cours est : $\overrightarrow{P}=m\overrightarrow{g}$

Cela signifie que la valeur du poids est donnée par :

$P=m\times g$

Avec $m=75~\text{kg}$ et $g=9{,}8~\text{N}\cdot\text{kg}^{-1}$, on obtient :

$P=75\times 9{,}8$

$P=735~\text{N}$

Donc le poids de la masse de $75~\text{kg}$ vaut : $P=735~\text{N}$

👉 le poids s’exprime en newton, donc si tu trouves une valeur en kg, c’est que tu n’as pas encore calculé une force.

2 : « En considérant que la masse est élevée verticalement de $1~\text{m}$, exprimer le travail du poids sur ce déplacement, puis calculer sa valeur. »

Le travail d’une force sur un déplacement AB s’écrit : $W_{A\to B}(\overrightarrow{F})=\overrightarrow{F}\cdot\overrightarrow{AB}$

Puis, avec la formule du produit scalaire :

$W_{A\to B}(\overrightarrow{F})=||\overrightarrow{F}||\times ||\overrightarrow{AB}||\times \cos(\theta)$

Ici, on s’intéresse à une élévation verticale de $1~\text{m}$. Dans l’esprit de la référence choisie par James Watt, la force utile exercée pour soulever la charge a la même direction que le déplacement. L’angle vaut donc $0^\circ$.

On écrit alors : $W_{A\to B}=735\times 1\times \cos(0^\circ)$

Or : $\cos(0^\circ)=1$

Donc : $W_{A\to B}=735\times 1\times 1$

$W_{A\to B}=735~\text{J}$

Le travail fourni pour élever la masse de $1~\text{m}$ vaut donc :

$W_{A\to B}=735~\text{J}$

👉 quand l’angle entre la force et le déplacement vaut $0^\circ$, le cosinus vaut $1$, donc le calcul devient plus simple.

3 : « En déduire la puissance moyenne développée pendant cette durée de $1~\text{s}$. »

La formule de la puissance moyenne est : $P_{\text{moy}}=\dfrac{W_{A\to B}}{\Delta t}$

On remplace par les valeurs connues :

$P_{\text{moy}}=\dfrac{735}{1}$

$P_{\text{moy}}=735~\text{W}$

La puissance moyenne développée est donc :

$P_{\text{moy}}=735~\text{W}$

👉 la puissance mesure la rapidité avec laquelle un travail est effectué. Ici, on fait le même travail en seulement $1~\text{s}$, donc la puissance est numériquement égale au travail.

4 : « On assimile cette puissance à $1~\text{CV} \approx 735~\text{W}$. Exprimer alors la puissance d’un véhicule de $75~\text{CV}$ en watt puis en kilowatt. »

Si $1~\text{CV} \approx 735~\text{W}$, alors pour $75~\text{CV}$ on multiplie par $75$ :

$75~\text{CV} = 75\times 735~\text{W}$

$75~\text{CV} = 55125~\text{W}$

Pour convertir en kilowatt, on divise par $1000$ :

$55125~\text{W}=55{,}125~\text{kW}$

On peut arrondir à : $55{,}1~\text{kW}$

Donc un véhicule de $75~\text{CV}$ a une puissance d’environ : $55125~\text{W}$

ou encore $55{,}1~\text{kW}$

👉 pour passer des watts aux kilowatts, il faut diviser par $1000$, car $1~\text{kW}=1000~\text{W}$.

Conclusion :

Le poids d’une masse de $75~\text{kg}$ vaut $735~\text{N}$. Le travail fourni pour élever cette masse de $1~\text{m}$ vaut $735~\text{J}$. Réalisé en $1~\text{s}$, ce travail correspond à une puissance moyenne de $735~\text{W}$, soit environ $1~\text{CV}$. Ainsi, un véhicule de $75~\text{CV}$ développe une puissance de $55125~\text{W}$, soit environ $55{,}1~\text{kW}$.