Polynômes : opérations sur les degrés

Exercice 1

$P(x)=(m^2-4)x^3+(m-2)x^2+x-7\\P(x)=(m-2)(m+2)x^3+(m-2)x^2+x-7\\P(x)=(m-2)[(m+2)x^3+x^2]+x-7$

$\text{Si }m=2 \text{ alors } m-2 =0 \text{ et }P(x)=x-7$
Le polynôme est de degré 1

$\text{Si }m=-2 \text{ alors } m+2=0 \text{ et }P(x)=(m-2)x^2+x-7$
Le polynôme est de degré 2

$\text{Pour tout m appartenant à }\mathbb{R} \setminus \lbrace-2;2\rbrace :\\P(x)=(m^2-4)x^3+(m-2)x^2+x-7$
Le polynôme est de degré 3

EXERCICE 2

$f(x) = 2x^3 - 5x + 1$
$g(x) = 3x^4 - 2x^2 + 7x - 3$

$(f+g)(x) = 3x^4 + 2x^3 - 2x^2 + 2x -2$

$(f\circ g)(x) = f(g(x))$
$\phantom{(f\circ g)(x)}= 2(3x^4 - 2x^2 + 7x - 3)^3 - 5(3x^4 - 2x^2 + 7x - 3) + 1$

$\checkmark$ Détails du développement de $(3x^4 - 2x^2 + 7x - 3)^3$
Rappel $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$
On peut poser $a = 3x^4 - 2x^2 = x^2(3x^2 - 2)$ et $b = 7x - 3$, ainsi :
$(3x^4 - 2x^2 + 7x - 3)^3=$
$(3x^4 - 2x^2)^3 + 3(3x^4 - 2x^2)^2(7x - 3)+\\ 3(3x^4 - 2x^2)(7x - 3)^2\\+(7x - 3)^3$

$\checkmark$ Détails du développement de $(3x^4 - 2x^2)^3$
Rappel $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$
$(3x^4 - 2x^2)^3 = (x^2(3x^2 - 2))^3$

$= x^6 (3x^2 - 2)^3$

$= x^6 [ (3x^2)^3 - 3 (3x^2)^2 \times 2 + 3 (3x^2) \times 2^2 - 2^3]$

$= x^6 ( 27x^6 - 54x^4 + 36x^2 - 8) \\\\= 27x^{12} - 54x^{10} + 36x^8 - 8x^6$

$\checkmark$ Détails du développement de $3(3x^4 - 2x^2)^2(7x - 3)$

$3(3x^4 - 2x^2)^2(7x-3) = 3[x^2(3x^2 - 2)]^2(7x-3) \\\\= 3x^4(3x^2 - 2)^2(7x-3)\\\\= 3x^4(9x^4 - 12x^2 + 4)(7x-3) \\\\ = 3x^4 (63x^5 - 27x^4 - 84x^3 + 36x^2 + 28x - 12) \\\\ = 189x^9 - 81x^8 - 252x^7 + 108x^6 + 84x^5 - 36x^4$

$\checkmark$ Détails du développement de $3(3x^4 - 2x^2)(7x - 3)^2$ $3(3x^4 - 2x^2)(7x-3)^2 = 3x^2(3x^2 - 2)(49x^2 - 42x + 9) \\\\= 3x^2(147x^4 - 126x^3 + 27x^2 - 98x^2 + 84x - 18)\\\\= 3x^2(147x^4 - 126x^3 - 71x^2 + 84x - 18) \\\\= 441x^6 - 378x^5 - 213x^4 + 252x^3 - 54x^2$

$\checkmark$ Détails du développement

$(7x-3)^3 = (7x)^3 - 3(7x)^2\times 3 + 3(7x)\times 3^2 - 3^3 \\\\= 343x^3 - 441x^2 + 189x - 27$

On récapitule le développement de $(3x^4 - 2x^2 + 7x - 3)^3$

$= 27x^{12} - 54x^{10} + 189x^9 - 45x^8 - 252x^7 + 541x^6 - 294x^5 - 249x^4 + 595x^3 - 495 x^2 + 189x - 27$

On récapitule le développement de $(f\circ g)(x) = f(g(x))$

$= 2(3x^4 - 2x^2) + 7x - 3)^3 - 5(3x^4 - 2x^2 + 7x - 3) + 1 \\\\= 2(27x^{12} - 54x^{10} + 189x^9 - 45x^8 - 252x^7 + 541x^6 - 294x^5 - 249x^4 + 595x^3 - 495 x^2 + 189x - 27) - 5(3x^4 - 2x^2 + 7x - 3) + 1 \\\\= 54x^{12} - 108x^{10} + 378x^9 - 90x^8 - 504x^7 + 1082x^6 - 588x^5 - 498x^4 + 1190x^3 - 790 x^2 + 378x - 54 - 15x^4 + 10x^2 - 35x + 15 + 1 \\\\ = 54x^{12} - 108x^{10} + 378x^9 - 90x^8 - 504x^7 + 1082x^6 - 588x^5 - 513x^4 + 1190x^3 - 980 x^2 + 343x - 38$

$(2f-3g)(x) =$

$2f(x) - 3g(x) = 2(2x^3 - 5x + 1) - 3(3x^4 - 2x^3 + 7x - 3) = -9 x^4 + 10x^3 - 31x + 11$

$f^2(x) = (f\circ f)(x) = f(f(x)) = 2(2x^3 - 5x + 1)^3 - 5(2x^3 - 5x + 1) + 1$

$\checkmark$ Détails du développement de $2(2x^3 - 5x + 1)^3$ $(2x^3 - 5x + 1)^3 = (2x^3)^3 + 3(2x^3)(1-5x) + 3(2x^3)(1-5x)^2 + (1-5x)^3 \\\\= 8x^9 + 12x^6 - 60x^7 + 6x^3 - 60x^4 + 150x^5 + (1 - 15x + 75x^2 - 125x^3) \\\\= 8x^9 - 60x^7 + 12x^6 + 150x^5 - 60x^4 - 119x^3 + 75x^2 - 15x + 1$

d'où $f(f(x)) = 2(8x^9 - 60x^7 + 12x^6 + 150x^5 - 60x^4 - 119x^3 + 75x^2 - 15x + 1) -10x^3 + 25x - 4 \\\\= 16x^9 - 120x^7 + 24x^6 + 300x^5 - 120x^4 - 248x^3 + 150x^2 - 5x - 2$

EXERCICE 3

$\checkmark$ $f_1(x) = (x - 1)^2 - 4(2x - 3)(x + 2)^2 + 3(x - 4)(x + 2)$

$= x^2 - 2x + 1 - (8x - 12)(x^2 + 4x + 4) + (3x - 12)(x + 2)$

$= x^2 - 2x + 1 -(8x^3 + 32x^2 + 32x - 12x^2 - 48x - 48)+ (3x^2 + 6x - 12x - 24)$

$= - 8x^3 - 16x^2 + 8x + 25$

Polynôme de degré 3

$\checkmark$ $f_2(x) = (2x - 1)^3 - 2(2x + 3)(x - 4)^2 - 4(x - 1)^2(x + 3)$

Rappel : $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$

$f_2(x) = ((2x)^3 - 3(2x)^2 + 3(2x) - 1) - (4x+6)(x^2- 8x + 16) - (4x+12)(x^2 - 2x + 1)$

$= (8x^3 - 12x^2 + 6x - 1) - (4x^3-32x^2+64x + 6x^2 - 48x + 96) - (4x^3 - 8x^2 + 4x + 12x^2 - 24x + 12)$

$= 8x^3 - 12x^2 + 6x - 1 - 4x^3 + 26^2 - 16x - 96 - 4x^3 - 4x^2 + 20x - 12$

$= 10x^2 + 10x - 85$

Polynôme du second degré

$\checkmark$ $f_3(x) = (2x^3 + 2x - 1) (4x^4 + 5x^2 + 3)$

$= 8x^7 + 10x^5 + 6x^3 + 8x^5 + 10x^3 + 6x - 4x^4 - 5x^2 - 3$

$= 8x^7 + 18x^5 - 4x^4 + 16x^3 - 5x^2 + 6x - 3$

Polynôme de degré 7

EXERCICE 4

Soit $P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$

$P(1) = \dfrac{-3}{4}\quad \Leftrightarrow \quad a + b + c + d = \dfrac{-3}{4}\quad\quad\quad -$ équation (1)

$P(2) = 1 \quad\Leftrightarrow \quad 8a + 4b + 2c + d = 1 \quad\quad\quad -$ équation (2)

$P(3) = \dfrac{-29}{4} \quad\Leftrightarrow \quad 27a + 9b + 3c + d = \dfrac{-29}{4}\quad\quad -$ équation (3)

$P(4) = 21 \quad\Leftrightarrow \quad 64a + 16b + 4c + d = 21\quad\quad\quad -$ équation (4)

On peut résoudre par substitution le système formé par ces 4 équations. équation (1) $\quad \Leftrightarrow d = \dfrac{-3}{4} -a - b - c$ équations (1) et (2) $\quad \Rightarrow 7a + 3b + c = 1 + \dfrac{3}{4} \quad\Leftrightarrow \quad c = \dfrac{7}{4} - 7a - 3b \quad$ $d'où \quad (1)\quad \text{ donne } \quad d = \dfrac{-10}{4} + 6a + 2b$ équations (1),(2)et(3) $\quad \Rightarrow 27a + 9b + 3(\dfrac{7}{4} - 7a - 3b) + (\dfrac{-10}{4} + 6a + 2b) = \dfrac{-29}{4}$ $\quad \Rightarrow \quad 12a + 2b = \dfrac{9}{2} \quad \Rightarrow \quad b = \dfrac{9}{4} - 6a$ $d'où \quad (2)\quad \Rightarrow \quad c = -5 + 11a\quad et \quad (1)\quad \Rightarrow \quad d = 2 - 6a$ équations (1), (2), (3) et(4) $\quad \Rightarrow 64a + 16\left(\dfrac{9}{4} - 6a\right) + 4(-5 + 11a) + 2 - 6a = 21$ $\quad \Rightarrow \quad a = \dfrac{1}{2}$

Reste à vérifier que les valeurs trouvées sont bien solutions du système proposé.

d'où $a=\dfrac 1 2 \quad b = \dfrac{-3}{4} \quad c = \dfrac{1}{2}\quad et \quad d = -1$

$P(x) = \dfrac{1}{2}x^3 - \dfrac{3}{4}x^2 + \dfrac{1}{2}x - 1$