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Polynômes : factorisation et équations
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Teste tes connaissances en polynômes avec ces exercices corrigés pas à pas : apprends à factoriser et résoudre des équations. Tu verras, avec un peu d’entraînement, tu vas vite progresser !
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Énoncé
Exercice 1
On donne une fonction polynôme f(x)=x4−3x3+x2−5x+6. a) Calculer f(1). b) On peut factoriser f(x). Sachant que f(x)=(x−1)g(x), avec g, polynôme du troisième degré : g(x)=ax3+bx2+cx+d. Calculer g(x) par identification. c) Calculer g(3). Conclusion ? d) Factoriser encore f(x).
Exercice 2
Soit p : x↦x3−3x2−13x+15. Chercher une racine évidente de p, puis résoudre dans R l'équation p(x)=0.
Soit p : x↦4x3−8x2−47x+105. Calculer p(3) et en déduire la résolution dans R de l'équation p(x)=0.
Même travail avec p : x↦x3+7x2+12x+10 et p(−5).
Soit p : x↦9x4−12x3−83x2−50x−8. Calculer p(4) et en déduire une première factorisation de p(x). Chercher une racine évidente de p, puis résoudre p(x)=0.
Exercice 3
Soit p(x)=x3−3x2−13x+15. Chercher une racine évidente de p puis résoudre dans R l'équation p(x)=0
Soit p(x)=4x3−8x2−47x+105. Calculer p(3) et en déduire dans R la résolution de l'équation p(x)=0.
Même travail avec p(x)=x3+7x2+12x+10 et le calcul de p(−5).
Soit p(x)=9x4−12x3−83x2−50x−8. Calculer p(4) et en déduire une première factorisation de p(x). Chercher une racine évidente de p, puis résoudre dans R l'équation p(x)=0.
Révéler le corrigé
Exercice 1
f(x)=x4−3x3+x2−5x+6
a. f(1)=1−3+1−5+6=0
b. f(x)=(x−1)g(x)=(x−1)(ax3+bx2+cx+d) déterminons les coefficients de g(x).
f(x)=ax4+bx3+cx2+dx−ax3−bx2−cx−d
f(x)=ax4+(b−a)x3+(c−b)x2+(d−c)x−d
par identification des coefficients, on établit le système :
⎩⎨⎧ab−ac−bd−c−d=====1−31−56
par résolution on trouve a=1;b=−2;c=−1;d=−6
ainsi g(x)=x3−2x2−x−6
c. g(3)=27−18−3−6=0⇒3 est racine de g
il existe donc un polynôme h(x)=a′x2+b′x+c′, de degré 2, avec g(x)=(x−3)h(x)
par identification, a′=1;b′=1;c′=2, soit h(x)=x2+x+2
h n'a pas de racine réelle (discriminant Δ<0), donc on ne peut pas factoriser davantage
d. d’où la factorisation : f(x)=(x−1)g(x)
f(x)=(x−1)(x−3)h(x)
f(x)=(x−1)(x−3)(x2+x+2)
Exercice 2
p(x)=x4+ax3−2x2+bx−3 avec a et b réels inconnus.
1 est racine de p ⟺(−1)4+a(−1)3−2(−1)2+b(−1)−3=0 ⟺1−a−2−b−3=0⟺a+b=−4 (première équation).
3 est racine de p⟺81+27a−18+3b−3=0 ⟺27a+3b=−60⟺9a+b=−20 (deuxième équation).
Système : {a+b9a+b==−4−20
Solution : a=−2;b=−2
Ainsi p(x)=x4−2x3−2x2−2x−3
Exercice 3
p(x)=x3−3x2−13x+15
somme des coefficients = 0 → non testons p(1)=0, donc 1 est racine évidente
il existe q(x)=ax2+bx+c tel que p(x)=(x−1)q(x)
(x−1)(ax2+bx+c)=ax3+(b−a)x2+(c−b)x−c
identification : ⎩⎨⎧ab−ac−b−c====1−3−1315
solution : a=1;b=−2;c=−15
donc p(x)=(x−1)(x2−2x−15)
discriminant : Δ=(−2)2−4(1)(−15)=4+60=64 racines : x=22±8=−3 ou 5
donc factorisation : p(x)=(x−1)(x+3)(x−5) solutions : S={−3,1,5}
p(x)=4x3−8x2−47x+105
p(3)=0 donc 3 est racine par division, on trouve p(x)=(2x+7)(2x−5)(x−3) solutions : S={−27,25,3}
p(x)=x3+7x2+12x+10
p(−5)=0 donc −5 est racine p(x)=(x+5)(x2+2x+2) discriminant de x2+2x+2 : Δ<0, pas de racine réelle solutions : S={−5}
p(x)=9x4−12x3−83x2−50x−8
p(4)=0, donc 4 est racine autre racine évidente : −2 puis même méthode que pour §1 , §2 et §3
L'ensemble des solutions de l'équation p(x)=0 est S={−2 ;−1/3 ;4}
La réussite à