Multiples, diviseurs et nombres premiers (1)

Exercice 1

1.On effectue la division du nombre 97 par :
👉 On teste les diviseurs premiers dans l’ordre croissant.

2 97 n'est pas divisible par 2 car son dernier chiffre 7 n'est pas pair.
👉 Un nombre divisible par 2 se termine toujours par un chiffre pair.

3 97 n'est pas divisible par 3 car la somme de ses chiffres 9 + 7 = 16 n'est pas divisible par 3.
👉 Pense toujours à la somme des chiffres pour le critère de divisibilité par 3.

5 97 n'est pas divisible par 5 car son dernier chiffre 7 n'est ni 0, ni 5.
👉 Le critère de divisibilité par 5 est immédiat.

7 97 = 7 × 13 + 6. Le reste de la division de 97 par 7 n'est pas nul, donc 97 n'est pas divisible par 7.
👉 Un reste non nul signifie que le nombre n’est pas divisible.

11 97 = 11 × 8 + 9. Le reste de la division de 97 par 11 n'est pas nul, donc 97 n'est pas divisible par 11. Le quotient 8 est inférieur au diviseur 11.
👉 Lorsque le quotient devient inférieur au diviseur premier, on peut s’arrêter.

On peut donc conclure : aucune des divisions de 97 par 2, 3, 5, 7 et 11 n'a un reste nul et le quotient de la dernière division est inférieur au diviseur premier. Le nombre 97 est donc premier.
👉 Tous les tests nécessaires ont été effectués.

Remarque : si 97 n'est pas divisible par 2, il ne le sera bien sûr pas non plus par ses multiples 4, 6, 8, etc.
De même, 97, non divisible par 3, ne sera donc pas divisible par 9.
👉 Inutile de tester les multiples des diviseurs déjà éliminés.

Remarque : on peut s'arrêter à la division de 97 par 11. En effet, si, par exemple, 97 était divisible par 13, on aurait : 97 = 13 d où d serait un entier inférieur à 8. Donc d diviserait 97 et serait plus petit que 11, ce qui est impossible d'après ce qui précède.
👉 On ne teste que jusqu’à ce que le quotient devienne plus petit que le diviseur.

Remarque : pour la division par 2, 3, 5 ou 11, on utilise de préférence les critères de divisibilité.
👉 Les critères permettent de gagner du temps.

2.On effectue la division du nombre 259 par :
👉 La méthode est exactement la même que précédemment.

2 259 n'est pas divisible par 2 car son dernier chiffre n'est pas pair.
3 259 n'est pas divisible par 3 car la somme de ses chiffres 2 + 5 + 9 = 16 n'est pas divisible par 3.
5 259 n'est pas divisible par 5 car son dernier chiffre 9 n'est ni 0, ni 5.
7 259 = 7 × 37. Le reste de la division de 259 par 7 est nul. 259 est divisible par 7.
👉 Dès qu’un reste est nul, le nombre n’est plus premier.

Le nombre 259 n'est donc pas un nombre premier.

Exercice 2

Indication :
On divise le nombre donné par les nombres premiers successifs en écrivant à chaque fois le quotient obtenu sous le dividende.
👉 Cette méthode permet de ne perdre aucun facteur.

On divise 2 520 par le plus petit nombre possible c'est-à-dire 2.
2 520 ÷ 2 = 1 260.
Le diviseur 2 se note à droite du trait, le quotient 1 260 sous 2 520.
👉 On commence toujours par le plus petit nombre premier.

Le plus petit diviseur premier de 1 260 est 2.
1 260 ÷ 2 = 630.
2 se note à droite, le quotient 630 se place sous 1 260.

630 étant pair, son plus petit diviseur premier est 2.
630 ÷ 2 = 315.

3 est le plus petit diviseur premier de 315.
315 ÷ 3 = 105.

3 est le plus petit diviseur premier de 105.
105 ÷ 3 = 35.

5 est le plus petit diviseur premier de 35.
35 ÷ 5 = 7.

7 est premier, donc divisible par 7.
7 ÷ 7 = 1.
👉 On s’arrête lorsque le quotient vaut 1.

Finalement,
2 520 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5 × 7
2 520 = 2³ × 3² × 5 × 7.
2³ × 3² × 5 × 7 est la décomposition en produit de facteurs premiers de 2 520.

Remarque : on choisit les nombres premiers de préférence dans l'ordre croissant pour ne pas en oublier.
👉 L’ordre croissant évite les erreurs.

Remarque : un nombre est divisible par 2 s'il se termine par un chiffre pair.

Remarque : un nombre est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3. La somme des chiffres de 315 est : 3 + 1 + 5 = 9. 9 est divisible par 3 donc 315 l'est aussi.

Remarque : un nombre est divisible par 5 s'il se termine par 0 ou par 5.

Exercice 3

13 est un nombre premier car les seuls diviseurs de 13 sont 1 et 13 ;
👉 Définition directe d’un nombre premier.

18 étant divisible par 2 et par 3, alors ce n'est pas un nombre premier ;

23 n'est pas divisible par 2, 3, 5. D'autre part dans la division de 23 par 5, le quotient 4 est inférieur au diviseur 5 donc 23 est un nombre premier ;
👉 On s’arrête dès que le quotient est inférieur au diviseur.

27 étant divisible par 3, alors ce n'est pas un nombre premier ;

43 n'est pas divisible par 2, 3, 5, 7 : 43 = 7 × 6 + 1, le quotient 6 est inférieur au diviseur 7, donc 43 est un nombre premier ;

89 n'est pas divisible par 2, 3, 5, 7, 11. 89 = 11 × 8 + 1, le quotient de la division euclidienne de 89 par 11 est 8 ; il est inférieur au diviseur 11 donc 89 est un nombre premier ;

101 n'est pas divisible par 2, 3, 5, 7, 11. Le quotient de la division de 101 par 11 est 9. 9 étant inférieur à 11, le nombre 101 est un nombre premier ;

197 n'est pas divisible par 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17. Le quotient de 197 par 17 est 11 ; 11 < 17, donc 197 est un nombre premier.

319 = 11 × 29, donc 319 est divisible par 11 et n'est pas un nombre premier.

405 se termine par 5 donc est divisible par 5 et n'est pas un nombre premier.
👉 Les critères de divisibilité suffisent parfois immédiatement.

Exercice 4

Soient p et q deux nombres premiers distincts. Cela signifie que les seuls diviseurs positifs de p sont 1 et p et les seuls diviseurs positifs de q sont 1 et q.
Par conséquent, le plus petit nombre non nul divisible par deux nombres premiers distincts est leur produit pq.
👉 Multiplier les deux plus petits nombres premiers distincts donne le minimum recherché.

Exercice 5

1. FAUX, tous les nombres impairs ne sont pas premiers. Par exemple : 9 est un nombre impair divisible par 3.
   👉 Un nombre impair peut très bien être composé.

2. FAUX, 2 est pair et c'est un nombre premier.
   👉 2 est le seul nombre premier pair.

3. FAUX, entre 7 et 11, il n'y a pas de nombre premier et 11 - 7 = 4 qui est différent de 2.
   👉 La différence entre deux nombres premiers n’est pas toujours constante.

4. VRAI.
   👉 Il existe une infinité de nombres premiers.