Multiples, diviseurs et nombres premiers (2)

Exercice 1

1. 2 est le seul nombre premier inférieur à 100 se terminant par 2 car les autres nombres se terminant par 2 seront des nombres pairs, ils seront donc au moins divisibles par 2.
   👉 Tout nombre pair strictement supérieur à 2 n’est jamais premier.

2. Il y a 7 nombres premiers inférieurs à 100 se terminant par 3 : 3, 13, 23, 43, 53, 73, 83.
   👉 On commence toujours par lister les candidats possibles.

23 n'est pas divisible par 2, 3, 5. D'autre part dans la division de 23 par 5, le quotient 4 est inférieur au diviseur 5 donc 23 est un nombre premier ;
👉 Quand le quotient devient inférieur au diviseur testé, on peut conclure.

43 n'est pas divisible par 2, 3, 5, 7 : 43 = 7 × 6 + 1, le quotient 6 est inférieur au diviseur 7, donc 43 est un nombre premier ;

53 n'est pas divisible par 2, 3, 5, 7, 11 : 53 = 11 × 4 + 9, le quotient 4 est inférieur au diviseur 11 donc 53 est un nombre premier ;

73 n'est pas divisible par 2, 3, 5, 7, 11 : 73 = 11 × 6 + 7, le quotient 6 est inférieur au diviseur 11 donc 73 est un nombre premier.

83 n'est pas divisible par 2, 3, 5, 7, 11 : 83 = 11 × 7 + 6, le quotient 7 est inférieur au diviseur 11 donc 83 est un nombre premier.

33 est divisible par 11 ; 63 est divisible par 3 ; 93 est divisible par 3.
👉 Les critères de divisibilité permettent d’éliminer rapidement certains nombres.

Exercice 2

18 = 2 × 9 = 2 × 3²
👉 Toujours poursuivre la décomposition jusqu’à n’avoir que des nombres premiers.

24 = 8 × 3 = 2³ × 3

30 = 2 × 15 = 2 × 3 × 5

42 = 2 × 21 = 2 × 3 × 7

49 = 7 × 7 = 7²

196 = 2 × 2 × 7 × 7 = 2² × 7²

252 = 2² × 3² × 7

455 = 5 × 7 × 13

546 = 2 × 3 × 7 × 13

840 = 2³ × 3 × 5 × 7
👉 Écrire les puissances permet une forme plus compacte et plus lisible.

Exercice 3

Pour $\dfrac{48}{75}$ :
48 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 = 2⁴ × 3 et 75 = 3 × 5 × 5 = 3 × 5², donc :
$\dfrac{48}{75} = \dfrac{2^4 \times 3}{3 \times 5^2} = \dfrac{2^4}{5^2} = \dfrac{16}{25}$
👉 On simplifie en supprimant les facteurs communs.

Pour $\dfrac{180}{126}$ :
180 = 2 × 2 × 3 × 3 × 5 = 2² × 3² × 5 et 126 = 2 × 3 × 3 × 7 = 2 × 3² × 7, donc :
$\dfrac{180}{126} = \dfrac{10}{7}$

Pour $\dfrac{585}{1275}$ :
585 = 3 × 3 × 5 × 13 = 3² × 5 × 13 et 1275 = 3 × 5 × 5 × 17 = 3 × 5² × 17, donc :
$\dfrac{585}{1275} = \dfrac{39}{85}$

Pour $\dfrac{360}{252}$ :
360 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5 = 2³ × 3² × 5 et 252 = 2 × 2 × 3 × 3 × 7 = 2² × 3² × 7, donc :
$\dfrac{360}{252} = \dfrac{10}{7}$

Pour $\dfrac{32670}{792}$ :
32670 = 2 × 3 × 3 × 3 × 5 × 11 × 11 = 2 × 3³ × 5 × 11² et 792 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 11 = 2³ × 3² × 11, donc :
$\dfrac{32670}{792} = \dfrac{2 \times 3^3 \times 5 \times 11^2}{2^3 \times 3^2 \times 11} = \dfrac{3 \times 5 \times 11}{2^2} = \dfrac{165}{4}$
👉 Réécrire avec des puissances aide à voir les simplifications.

Pour $\dfrac{17303}{1859}$ :
17303 = 11 × 11 × 11 × 13 = 11³ × 13 et 1859 = 11 × 13 × 13 = 11 × 13², donc :
$\dfrac{17303}{1859} = \dfrac{11^3 \times 13}{11 \times 13^2} = \dfrac{11^2}{13} = \dfrac{121}{13}$

Exercice 4

Pour $\sqrt{54}$
54 = 2 × 3 × 3 × 3 = 2 × 3³, donc :
$\sqrt{54} = 3\sqrt{6}$
👉 On sort les carrés parfaits du radical.

Pour $\sqrt{74}$
74 = 2 × 37, donc l'écriture de $\sqrt{74}$ ne peut pas être améliorée
👉 S’il n’y a pas de carré parfait, on ne peut pas simplifier.

Pour $\sqrt{845}$
845 = 5 × 13 × 13 = 5 × 13² , donc :
$\sqrt{845} = 13\sqrt{5}$

Pour $\sqrt{1000}$
1000 = 2 × 2 × 2 × 5 × 5 × 5 = 2³ × 5³, donc :
$\sqrt{1000} = 10\sqrt{10}$

Pour $\sqrt{1044}$
1044 = 2 × 2 × 3 × 3 × 29 = 2² × 3² × 29 , donc :
$\sqrt{1044} = 6\sqrt{29}$

Pour $\sqrt{6125}$
6125 = 5 × 5 × 5 × 7 × 7 = 5³ × 7² , donc :
$\sqrt{6125} = 35\sqrt{5}$

Pour $\sqrt{20825}$
20825 = 5 × 5 × 7 × 7 × 17 = 5² × 7² × 17, donc :
$\sqrt{20825} = 35\sqrt{17}$

👉 Toujours chercher les carrés parfaits dans la décomposition.