Moyenne pondérée et linéarité de la moyenne (2)

Exercice 1 – Valeurs aberrantes et moyenne élaguée

On a mesuré la durée (en secondes) d’un même phénomène :

$18,2~;~18,4~;~18,3~;~18,5~;~18,3~;~22,1~;~18,4~;~18,2$

1. Identifier la valeur aberrante.
   Toutes les valeurs sont autour de $18,2$ à $18,5$, sauf $22,1$ qui est très éloignée.
   La valeur aberrante est donc $22,1$.
   👉 Petit conseil : une valeur aberrante se repère souvent car elle « casse » complètement l’ordre de grandeur du reste.

2. Calculer la moyenne de la série sans cette valeur aberrante.
   On retire $22,1$, il reste $7$ valeurs.

Somme des 7 valeurs :
$18,2+18,4+18,3+18,5+18,3+18,4+18,2$

On additionne :
$18,2+18,4=36,6$
$36,6+18,3=54,9$
$54,9+18,5=73,4$
$73,4+18,3=91,7$
$91,7+18,4=110,1$
$110,1+18,2=128,3$

Moyenne élaguée :
$\bar{x}=\dfrac{128,3}{7}\approx18,33$

Donc la moyenne sans la valeur aberrante est environ $18,33$ s.
👉 Petit conseil : pense à changer l’effectif total quand tu retires une valeur (ici $7$ au lieu de $8$).

3. Expliquer l’intérêt d’une moyenne élaguée dans ce contexte.
   La valeur $22,1$ peut venir d’une erreur de mesure.
   En la retirant, la moyenne représente mieux la durée « normale » du phénomène.
   👉 Petit conseil : une moyenne peut être fortement déformée par une seule valeur extrême.

Exercice 6 – Médiane d’une série (effectif impair)

Voici les tailles (en cm) d’un groupe d’élèves :

$148~;~152~;~150~;~155~;~160~;~149~;~151~;~154~;~153$

1. Ranger la série dans l’ordre croissant.
   On classe les valeurs :
   $148~;~149~;~150~;~151~;~152~;~153~;~154~;~155~;~160$
   👉 Petit conseil : la médiane se lit uniquement sur une série rangée dans l’ordre croissant.

2. Déterminer la médiane.
   Il y a $9$ valeurs (effectif impair).
   La médiane est la valeur du milieu, c’est-à-dire la $5^\text{e}$ valeur.
   La $5^\text{e}$ valeur est $152$.

La médiane est donc $152$ cm.
👉 Petit conseil : pour un effectif impair $N$, la médiane est la valeur en position $\dfrac{N+1}{2}$. Ici $\dfrac{9+1}{2}=5$.

3. Interpréter la valeur obtenue.
   Cela signifie qu’au moins $50$ des élèves ont une taille $\le152$ cm, et au moins $50$ ont une taille $\ge152$ cm.
   👉 Petit conseil : la médiane partage la population en deux moitiés d’effectifs égaux.

Exercice 7 – Médiane d’une série (effectif pair)

Les notes suivantes ont été obtenues à un contrôle :

$7~;~9~;~10~;~12~;~13~;~14~;~16~;~18$

1. Ranger la série dans l’ordre croissant.
   La série est déjà rangée :
   $7~;~9~;~10~;~12~;~13~;~14~;~16~;~18$

2. Déterminer la médiane de cette série.
   Il y a $8$ valeurs (effectif pair).
   Les deux valeurs centrales sont la $4^\text{e}$ et la $5^\text{e}$.
   Ici : $12$ et $13$.

On prend la moyenne des deux :
$m=\dfrac{12+13}{2}=12,5$

La médiane est donc $12,5$.
👉 Petit conseil : pour un effectif pair, la médiane n’est pas forcément une valeur de la liste.

3. Comparer la médiane avec la moyenne de la série (sans la calculer précisément).
   La série est plutôt équilibrée et ne contient pas de valeur très extrême.
   On peut donc s’attendre à ce que la moyenne soit proche de la médiane $12,5$.
   👉 Petit conseil : la moyenne est sensible aux valeurs extrêmes ; comme ici les notes sont assez réparties, moyenne et médiane devraient être proches.