Indicateurs de dispersion

Exercice 1 – Détermination des quartiles

Voici les notes (sur 20) obtenues par 20 élèves à un contrôle, rangées dans l’ordre croissant :

$4~;~6~;~7~;~8~;~9~;~10~;~10~;~11~;~11~;~12~;~12~;~13~;~14~;~14~;~15~;~16~;~16~;~17~;~18~;~19$

1. Vérifier que la série est bien ordonnée.
   On lit la liste : chaque valeur est inférieure ou égale à la suivante ($4\le6\le7\le\cdots\le19$).
   Donc la série est bien ordonnée dans l’ordre croissant.
   👉 Petit conseil : pour trouver des quartiles, il faut toujours une série rangée dans l’ordre croissant.

2. Déterminer le premier quartile $Q_1$.
   L’effectif total est $N=20$.
   On calcule $\dfrac{N}{4}$ : $\dfrac{20}{4}=5$

D’après la méthode du cours, $Q_1$ correspond à la valeur de rang $5$ (ou « la 5e valeur »).
On repère la 5e valeur de la liste :

1re : $4$
2e : $6$
3e : $7$
4e : $8$
5e : $9$

Donc $Q_1=9$.
👉 Petit conseil : écris les rangs (1re, 2e, 3e…) si tu as peur de te décaler dans la liste.

3. Déterminer le troisième quartile $Q_3$.
   On calcule $3\times\dfrac{N}{4}$ :
   $3\times\dfrac{20}{4}=3\times5=15$

$Q_3$ correspond à la valeur de rang $15$ (la 15e valeur).
On repère la 15e valeur :

13e : $14$
14e : $14$
15e : $15$

Donc $Q_3=15$.
👉 Petit conseil : $Q_3$ est une valeur « haute » de la série, il doit être supérieur ou égal à $Q_1$. Ici $15\ge9$, c’est cohérent.

Exercice 2 – Quartiles et écart inter-quartile

On a relevé les durées (en minutes) d’utilisation quotidienne d’un téléphone portable pour 16 adolescents :

$30~;~35~;~40~;~45~;~50~;~55~;~60~;~60~;~65~;~70~;~75~;~80~;~85~;~90~;~95~;~100$

1. Déterminer le premier quartile $Q_1$.
   La série est déjà ordonnée.
   Effectif total : $N=16$.
   $\dfrac{N}{4}=\dfrac{16}{4}=4$

$Q_1$ correspond à la valeur de rang $4$.
La 4e valeur est $45$.
Donc $Q_1=45$.
👉 Petit conseil : $Q_1$ est la « valeur seuil » pour laquelle au moins $25$ des valeurs sont en dessous ou égales.

2. Déterminer le troisième quartile $Q_3$.
   $3\times\dfrac{N}{4}=3\times4=12$

$Q_3$ correspond à la valeur de rang $12$.
La 12e valeur est $80$.
Donc $Q_3=80$.
👉 Petit conseil : pour $Q_3$, pense « 75% des valeurs sont à gauche », donc on va chercher un rang plutôt grand.

3. Calculer l’écart inter-quartile.
   Définition : écart inter-quartile $=Q_3-Q_1$.
   Donc :
   $Q_3-Q_1=80-45=35$

L’écart inter-quartile vaut $35$ minutes.
👉 Petit conseil : l’écart inter-quartile mesure la dispersion « au centre » de la série, en ignorant les valeurs trop extrêmes.

4. Interpréter l’écart inter-quartile obtenu.
   Cela signifie qu’entre le premier quartile et le troisième quartile, il y a un écart de $35$ minutes.
   Autrement dit, les $50$ centraux des durées d’utilisation se situent dans un intervalle de largeur $35$ minutes.
   👉 Petit conseil : quand on te demande une interprétation, parle des « 50% centraux », c’est l’idée clé des quartiles.

Exercice 3 – Étendue et comparaison de séries

On considère deux séries statistiques :

Série A (notes sur 20) :
$6~;~8~;~9~;~10~;~11~;~12~;~13~;~14$

Série B (notes sur 20) :
$2~;~5~;~7~;~10~;~12~;~15~;~18~;~19$

1. Calculer l’étendue de la série A.
   Définition : étendue $=\text{max}-\text{min}$.
   Dans la série A :
   min $=6$ et max $=14$.

Donc :
$etendue_A=14-6=8$
👉 Petit conseil : pour l’étendue, tu n’as besoin que de la plus petite et de la plus grande valeur.

2. Calculer l’étendue de la série B.
   Dans la série B :
   min $=2$ et max $=19$.

Donc :
$etendue_B=19-2=17$
👉 Petit conseil : vérifie bien que tu as repéré le minimum et le maximum, surtout si la série n’est pas triée (ici elle l’est).

3. Comparer la dispersion des deux séries à l’aide de l’étendue.
   $etendue_A=8$ et $etendue_B=17$.
   Comme $17>8$, la série B est plus dispersée que la série A (les notes sont plus « étalées »).
   👉 Petit conseil : une grande étendue signifie que les valeurs sont plus éparpillées, mais attention : l’étendue dépend beaucoup des valeurs extrêmes.