Moyenne pondérée et linéarité de la moyenne (1)

Exercice 1 – Calcul d’une moyenne pondérée

On a relevé les notes obtenues à un devoir de mathématiques :

Notes : $8~;~10~;~12~;~14~;~16$
Effectifs correspondants : $2~;~5~;~7~;~4~;~2$

1. Déterminer l’effectif total.
   On additionne tous les effectifs :
   $N = 2+5+7+4+2 = 20$
   Donc l’effectif total est $20$.
   👉 Petit conseil : avant toute moyenne pondérée, commence toujours par calculer $N$, ça évite les oublis.

2. Calculer la moyenne pondérée de cette série.
   On applique la formule :
   $\bar{x}=\dfrac{\sum x_i\times n_i}{N}$

On calcule la somme pondérée :
$8\times2 = 16$
$10\times5 = 50$
$12\times7 = 84$
$14\times4 = 56$
$16\times2 = 32$

Somme :
$16+50+84+56+32 = 238$

Donc :
$\bar{x}=\dfrac{238}{20}=11,9$

La moyenne est $11,9$.
👉 Petit conseil : vérifie que la moyenne est entre la plus petite valeur ($8$) et la plus grande ($16$).

Exercice 2 – Moyenne d’une série regroupée en classes

Les masses (en kg) de sacs de riz sont regroupées par classes :

$[0~;~5[$ : $3$ sacs
$[5~;~10[$ : $9$ sacs
$[10~;~15[$ : $6$ sacs
$[15~;~20[$ : $2$ sacs

1. Déterminer le centre de chaque classe.
   Le centre d’une classe $[a~;~b[$ est : $c=\dfrac{a+b}{2}$.

Centre de $[0~;~5[$ : $c_1=\dfrac{0+5}{2}=2,5$
Centre de $[5~;~10[$ : $c_2=\dfrac{5+10}{2}=7,5$
Centre de $[10~;~15[$ : $c_3=\dfrac{10+15}{2}=12,5$
Centre de $[15~;~20[$ : $c_4=\dfrac{15+20}{2}=17,5$
👉 Petit conseil : ici, on n’a pas les valeurs exactes, donc on travaille avec les centres pour obtenir une moyenne approchée.

2. Calculer une valeur approchée de la masse moyenne des sacs.
   Effectif total :
   $N=3+9+6+2=20$

Somme pondérée :
$2,5\times3=7,5$
$7,5\times9=67,5$
$12,5\times6=75$
$17,5\times2=35$

Somme :
$7,5+67,5+75+35=185$

Moyenne approchée :
$\bar{x}\approx\dfrac{185}{20}=9,25$

La masse moyenne est environ $9,25$ kg.
👉 Petit conseil : comme c’est une moyenne « par classes », écris bien « environ » ou « approchée ».

Exercice 3 – Propriété de linéarité de la moyenne

La moyenne d’une série statistique est égale à $12$.

1. Quelle est la nouvelle moyenne si on ajoute $3$ à toutes les valeurs de la série ?
   Ajouter $b$ à toutes les valeurs ajoute $b$ à la moyenne :
   $\bar{x}_{\text{nouvelle}}=\bar{x}+3=12+3=15$
   👉 Petit conseil : si toutes les valeurs augmentent de $3$, la moyenne augmente forcément de $3$.

2. Quelle est la nouvelle moyenne si on multiplie toutes les valeurs par $2$ ?
   Multiplier toutes les valeurs par $a$ multiplie la moyenne par $a$ :
   $\bar{x}_{\text{nouvelle}}=2\bar{x}=2\times12=24$
   👉 Petit conseil : c’est exactement le même effet que sur chaque valeur, car la moyenne est linéaire.

3. Quelle est la nouvelle moyenne si on multiplie toutes les valeurs par $3$, puis on ajoute $5$ ?
   On applique les deux transformations dans l’ordre :
   D’abord $\times3$ : $3\times12=36$
   Puis $+5$ : $36+5=41$

La nouvelle moyenne est $41$.
👉 Petit conseil : respecte l’ordre : multiplier puis ajouter ne donne pas le même résultat qu’ajouter puis multiplier.

Exercice 4 – Moyenne sur des sous-groupes

Dans un lycée, on distingue deux groupes d’élèves :

$120$ élèves de seconde ont une moyenne de $11,5$
$80$ élèves de première ont une moyenne de $12,8$

1. Calculer la moyenne de l’ensemble des élèves du lycée.
   On utilise la formule de moyenne sur sous-groupes :
   $\bar{x}=\dfrac{\bar{x_1}\times N_1+\bar{x_2}\times N_2}{N_1+N_2}$

Ici :
$\bar{x}=\dfrac{11,5\times120+12,8\times80}{120+80}$

On calcule :
$11,5\times120=1380$
$12,8\times80=1024$

Somme :
$1380+1024=2404$

Effectif total :
$120+80=200$

Donc :
$\bar{x}=\dfrac{2404}{200}=12,02$

La moyenne de l’ensemble des élèves est $12,02$.
👉 Petit conseil : une moyenne de moyennes n’est correcte que si on pondère par les effectifs.

2. Expliquer pourquoi il ne suffit pas de faire la moyenne de $11,5$ et $12,8$.
   Car les deux groupes n’ont pas le même effectif ($120$ contre $80$).
   La moyenne globale doit donner plus de « poids » au groupe le plus nombreux.
   👉 Petit conseil : si tu faisais $\dfrac{11,5+12,8}{2}$, tu considérerais à tort que les deux groupes ont le même nombre d’élèves.