Moyenne pondérée et linéarité de la moyenne

I. Moyenne pondérée

La moyenne d'une série quantitative est la somme des produits des caractères $x_i$ par l'effectif $n_i$, divisé par l'effectif total $N$ :

$\small \bar{x}=\dfrac{\sum_{i=1}^{p}x_i \times n_i}{N}=\dfrac{x_1 \times n_1 + x_2 \times n_2 + ... + x_p \times n_p}{N}$

Exemple :

Classer les élèves d'une classe en fonction de leur note.

12 ; 16 ; 18 ; 4 ; 16 ; 12 ; 10 ; 5 ; 9 ; 13 ; 12 ; 10 ; 11 ; 11 ; 13.

--> 4 ; 5 ; 9 ; 10 ; 10 ; 11 ; 11 ; 12 ; 12 ; 12 ; 13 ; 13 ; 16 ; 16 ; 18.

La moyenne des notes dans cet exemple est :

Remarque : pour calculer la moyenne d'une série regroupée en classes d'intervalles, on détermine le centre de chaque classe, puis on calcule la moyenne pondérée en s'aidant de ces centres.

La moyenne est : $\dfrac{2,5 \times 1 + 7,5 \times 2 + 12,5 \times 9 + 17,5 \times 3}{1+2+9+3} \approx 12,2$

II. Propriété de linéarité

$\checkmark$ Multiplier tous les caractères $x_i$ de la série par un nombre $a$ revient à multiplier la moyenne $\bar{x}$ par $a$ :
$\dfrac{\displaystyle \sum_{i=1}^{p}ax_i \times n_i}{N}=a\bar{x}$

$\checkmark$ Ajouter un nombre $b$ à tous caractères $x_i$ de la série revient à ajouter le nombre $b$ à la moyenne $\bar{x}$ :
$\dfrac{\displaystyle \sum_{i=1}^{p}(x_i+b) \times n_i}{N}=\bar{x}+b$

III. Calculer une moyenne sur des sous-goupes

Une série $x$ est séparée en deux sous-groupes de moyenne $\bar{x_1}$ d'effectif total $N_1$ et $\bar{x_2}$ d'effectif total $N_2$.
La moyenne de cette série est alors : $\bar{x}=\dfrac{\bar{x_1} \times N_1 + \bar{x_2} \times N_2}{N_1+N_2}$

IV. Valeurs aberrantes

Il arrive qu'il faille ignorer les caractères extrêmes (le minimum et le maximum). Dans ce cas, on recherche la moyenne élaguée.

Exemple : on relève 10 fois une même intensité en mA :
5,1 ; 5,3 ; 5,4 ; 5,3 ; 5,3 ; 6,1 ; 5,2 ; 5,3 ; 5,2 ; 5,2.
On peut soupçonner une erreur de lecture lors de la 6e mesure. Ainsi on cherchera la moyenne expérimentale en l'omettant :
$\small \dfrac{5,1 + 5,3 + 5,4 + 5,3 + 5,3 + 5,2 + 5,3 + 5,2 + 5,2}{9} \approx 5,3$

⚠️ Moyenne : à ne pas confondre avec la médiane ⚠️

La médiane est le nombre partageant la population en deux parties de même effectif de sorte qu'il y a 50% des individus ayant un caractère inférieur ou égal à la médiane (de même, il y a 50% des individus ayant un caractère supérieur ou égal à la médiane).

Exemple :

Remarque : la médiane peut être illustrée par une ligne de partage.

Ici, l'effectif total de la série (15) est impair, mais dans certain cas cet effectif est pair. Dans ce cas, on peut prendre pour médiane, la moyenne des deux nombres se situant autour de la ligne de partage :