Évolutions successives et évolution réciproque (2)

Exercice 1 – Taux d’évolution sur une période

Entre 2015 et 2025, la population d’une commune est passée de 18 000 habitants à 20 160 habitants.

1. Calculer le taux d’évolution global de la population sur cette période.
   Le taux d’évolution (variation relative) est :
   $\tau=\dfrac{V_{\text{final}}-V_{\text{initial}}}{V_{\text{initial}}}$
   $\tau=\dfrac{20160-18000}{18000}=\dfrac{2160}{18000}=0,12$
   👉 Petit conseil : fais d’abord la différence $V_{\text{final}}-V_{\text{initial}}$, puis divise par la valeur initiale.

2. Donner ce taux sous forme décimale puis en pourcentage.
   Sous forme décimale : $0,12$
   Sous forme de pourcentage : $0,12=12\%$

3. Indiquer s’il s’agit d’une augmentation ou d’une diminution.
   Comme $0,12>0$, il s’agit d’une augmentation.
   👉 Petit conseil : si $V_{\text{final}}<V_{\text{initial}}$, la différence serait négative et tu aurais une diminution.

Exercice 2 – Taux d’évolution moyen

On considère la situation de l’exercice précédent.
On suppose que la population a évolué de manière régulière chaque année entre 2015 et 2025.

1. Donner le coefficient multiplicateur global sur les 10 années.
   Le taux global est $12$, donc le coefficient global est :
   $CM_{\text{global}}=1+0,12=1,12$
   👉 Petit conseil : $CM=1+\text{taux}$ quand c’est une augmentation.

2. Calculer le coefficient multiplicateur annuel moyen.
   Si l’évolution est régulière sur 10 ans, on cherche $CM$ tel que :
   $CM^{10}=1,12$
   Donc :
   $CM=1,12^{\dfrac{1}{10}}$
   On obtient à la calculatrice :
   $CM\approx1,0114$
   👉 Petit conseil : le taux annuel moyen n’est pas $\dfrac{12}{10}$, car on est dans une évolution multiplicative.

3. En déduire le taux d’évolution annuel moyen, exprimé en pourcentage.
   Taux annuel moyen :
   $CM-1\approx1,0114-1=0,0114$
   Donc $0,0114\approx1,14\%$
   La population a donc augmenté en moyenne d’environ $1,14\%$ par an.
   👉 Petit conseil : pour retrouver un taux à partir d’un coefficient, tu fais toujours « coefficient − 1 ».

Exercice 3 – Évolution réciproque

Un manteau coûte 160 € avant les soldes.
Pendant les soldes, son prix baisse de $25\%$.

1. Calculer le coefficient multiplicateur correspondant à cette baisse.
   Diminution de $25\%$ :
   $CM=1-\dfrac{25}{100}=1-0,25=0,75$
   👉 Petit conseil : une baisse correspond toujours à un coefficient inférieur à $1$.

2. Déterminer le prix du manteau après la réduction.
   $V_{\text{final}}=160\times0,75=120$
   Le manteau coûte 120 € après les soldes.
   👉 Petit conseil : appliquer un pourcentage, c’est multiplier par le coefficient multiplicateur.

3. Calculer le coefficient multiplicateur permettant de revenir du prix soldé au prix initial.
   Pour revenir en arrière, on prend l’inverse du coefficient :
   $CM_{\text{réciproque}}=\dfrac{1}{0,75}=\dfrac{4}{3}\approx1,333$
   👉 Petit conseil : « réciproque » signifie « on annule l’effet », donc on prend l’inverse.

4. En déduire le taux d’évolution réciproque en pourcentage.
   Le taux correspondant est :
   $1,333-1=0,333$
   Donc $0,333\approx33,3\%$
   Il faut donc augmenter d’environ $33,3\%$ le prix soldé pour retrouver le prix initial.
   👉 Petit conseil : une baisse de $25\%$ n’est pas compensée par une hausse de $25\%$ (c’est un piège classique).