Matrices : une évolution de population

$1.$ a) Soit $n\in\mathbb{N}$.
$A\times U_n=\begin{pmatrix}0,125&0,525\\0,625&0,625\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}j_n\\a_n\end{pmatrix}$

$\phantom{A\times U_n}=\begin{pmatrix}0,125\times j_n+0,525\times a_n\\0,625\times j_n+0,625\times a_n\end{pmatrix}$

$\phantom{A\times U_n}=\begin{pmatrix}j_{n+1} \\ a_{n+1}\end{pmatrix}$

$\phantom{A\times U_n}=U_{n+1}$

$1.$ b) $j_1=0,125j_0+0,525a_0=287,5\approx287$ et $a_1=0,625j_0+0,625a_0=437,5\approx437$
$j_2=0,125j_1+0,525a_1=265,625\approx265$ et $a_2=0,625j_1+0,625a_1=453,125\approx452$
(Attention à bien reprendre la valeur exacte de $j_1$ et $a_1$ pour calculer $j_2$ et $a_2$ car sinon, on commet une erreur de 1 sur
$a_2$ par rapport au résultat qu'on obtient avec la question 3.a)

$1.$ c) On reconnaît une relation de type "suite géométrique". Montrons par récurrence sur $n\in\mathbb{N}$ que $U_n=A^n\times U_0$.
$\bullet\ n=0$ : $U_0=A^0\times U_0$ OK.
$\bullet$ Soit $n\in\mathbb{N}$ tel que $U_n=A^n\times U_0$.
D'après la question précédente, $U_{n+1}=A\times U_n$ donc, par hypothèse de récurrence,
$U_{n+1}=A\times A^n\times U_0=A^{n+1}\times U_0$.
On a donc montré que $\boxed{(\forall n\in\mathbb{N})\ U_n=A^n\times U_0}$.

$2.$a)

$Q\times D\times Q^{-1} = Q\times(D\times Q^{-1})$

$\phantom{Q\times D\times Q^{-1}}=Q\times\left(\begin{pmatrix}-0,25&0\\0&1\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}0,1&-0,06\\0,1&0,14\end{pmatrix}\right)$

$\phantom{Q\times D\times Q^{-1}}= Q\times\begin{pmatrix}-0,25\times0,1+0\times0,1 &-0,25\times(-0,06)+0\times0,14 \\ 0\times0,1+1\times0,1 & 0\times(-0,06)+1\times0,14 \end{pmatrix}$

$\phantom{Q\times D\times Q^{-1}}=\begin{pmatrix}7&3\\-5&5\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}-0,025&0,015\\0,1&0,14\end{pmatrix}$

$\phantom{Q\times D\times Q^{-1}}=\begin{pmatrix}7\times(-0,025)+3\times0,1&7\times0,015+3\times0,14\\-5\times(-0,025)+5\times0,1&-5\times0,015+5\times0,14\end{pmatrix}$

$\phantom{Q\times D\times Q^{-1}}= \begin{pmatrix}0,125&0,525\\0,625&0,625\end{pmatrix}$

$\phantom{Q\times D\times Q^{-1}}=A$

$2.$ b) Montrons par récurrence sur $n\in\mathbb{N}$ que $A^n=Q\times D^n\times Q^{-1}$.
$\bullet\ n=1$ Le résultat est vrai d'après la question précédente.
$\bullet$ Soit $n\in\mathbb{N}$ tel que $A^n=Q\times D^n\times Q^{-1}$.
$A^{n+1}=A\times A^{n}$ donc d'après la question précédente et l'hypothèse de récurrence :
$A^{n+1}=(Q\times D\times Q^{-1})\times(Q\times D^{n}\times Q^{-1})$

$A^{n+1}=Q\times D\times(Q^{-1}\times Q)\times D^{n}\times Q^{-1}$

$=Q\times D\times I_2 \times D^{n}\times Q^{-1}=Q\times D^{n+1}\times Q^{-1}$

(où l'on a noté $I_2$ la matrice identité)
On a donc montré que $(\forall n\in\mathbb{N})\, A^n=Q\times D^{n}\times Q^{-1}$.

$2.$c) Montrons par récurrence sur $n\in\mathbb{N}$ que $D^n=\begin{pmatrix}(-0,25)^n&0\\0&1\end{pmatrix}$.
$\bullet\ n=0$ : $D^0=I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}(-0,25)^0&0\\0&1\end{pmatrix}$
$\bullet$ Soit $n\in\mathbb{N}$ tel que $D^n=\begin{pmatrix}(-0,25)^n&0\\0&1\end{pmatrix}$.
$D^{n+1}=D^n\times D=\begin{pmatrix}(-0,25)^n&0\\0&1\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}-0,25&0\\0&1\end{pmatrix}$ par hypothèse de récurrence.
Donc $D^{n+1}=\begin{pmatrix}(-0,25)^{n+1}&0\\0&1\end{pmatrix}$
On a donc montré que $(\forall n\in\mathbb{N})\ D^n=\begin{pmatrix}(-0,25)^n&0\\0&1\end{pmatrix}$.

$3.$ a) D'après la question 1. c), $\begin{pmatrix}j_n\\a_n\end{pmatrix}=U_n=A^n\times\begin{pmatrix}j_0\\a_0\end{pmatrix}$ donc

$\left \lbrace \begin{matrix} j_n=(0,3+0,7\times(-0,25)^n)\times j_0+(0,42-0,42\times(-0,25)^n)\times a_0\\ a_n=(0,5-0,5\times(-0,25)^n)\times j_0+(0,7+0,3 \times(-0,025)^n)\times a_0 \end{matrix}\right.$

Ainsi, $\boxed{\left\lbrace\begin{matrix}j_n=270-70(-0,25)^n\\a_n=450+50(-0,25)^n\end{matrix}\right.}$ et $\boxed{j_n\xrightarrow[n\to+\infty]{}270}$

et $\boxed{a_n\xrightarrow[n\to+\infty]{}450}$ (car $0,25 \lt 1$)

$3.$ b) La population d'animaux se stabilise à 270 jeunes et 450 adultes.