Matrices et transformations géométriques du plan (1)

Exercice 1 :
$\overrightarrow{AB}=\vec{u}\;\;\Longleftrightarrow\;\;\begin{pmatrix}x_B-x_A\\y_B-y_A\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}$.
Donc $x_B=4\,;y_B=2$.
Les coordonnées de $B$ sont : $B(4;2)$.

Exercice 2 :
$\overrightarrow{AB}=\vec{u}$
$\implies \begin{pmatrix}x_B \\ y_B\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x_A \\ y_A\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2 \\ -3\end{pmatrix}$.
Donc $B(1;2)$.

Exercice 3 :

👉 Rappel : Le point $B$ est l’image de $A$ par la rotation de centre $O$ et d’angle $\theta$ si, et seulement si :

$\begin{pmatrix} x_B \\ y_B \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos(\theta) \quad -\sin(\theta) \\ \sin(\theta) \quad \cos(\theta) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_A \\ y_A \end{pmatrix}$

ici : $\theta=\dfrac{\pi}{2}$ donc
$\begin{pmatrix}x_B \\ y_B\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & -1 \\ 1 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2 \\ 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 \\ 2\end{pmatrix}$.

et $B$ a pour coordonnées : $B(0;2)$.

Exercice 4 :

De même :
$\begin{pmatrix}x_B \\ y_B\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\tfrac{\sqrt{2}}{2} & -\tfrac{\sqrt{2}}{2} \\ \tfrac{\sqrt{2}}{2} & \tfrac{\sqrt{2}}{2}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 \\ 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 \\ \sqrt{2}\end{pmatrix}$.
Donc $B(0;\sqrt{2})$.