Matrice inversible, matrice et système

On considère les matrices $A=\begin{pmatrix} 4 & 2 & 5\\ 3& 1 &2 \\ 170 & 85 & 215 \end{pmatrix}$$\text{ et }$ $B=\begin{pmatrix} -45 & 5 & 1\\ 305& -10& -7\\ -85& 0 & 2 \end{pmatrix}$

$1.~a)$ Calculons le déterminant ${ A }$ et justifions que ${ A }$ est inversible.

$\det(A)=\begin{vmatrix}4&2&5\\3&1&2\\170&85&215\end{vmatrix}$

$\phantom{\det(A)}=4\begin{vmatrix}1&2\\85&215\end{vmatrix} -2\begin{vmatrix}3&2\\170&215\end{vmatrix} +5\begin{vmatrix}3&1\\170&85\end{vmatrix}$

$\phantom{\det(A)}=4(215-170)-2(645-340) +5(255-170)$

$\phantom{\det(A)}=4\times45-2\times305 +5\times85$

$\phantom{\det(A)}=-5\Longrightarrow\quad\boxed{\det(A)=-5}$

$\det(A)=-5\neq 0.$

Donc la matrice ${ A}$ est inversible.

$1.~b)$Nous devons déterminer la matrice ${ A\times B }$ et déduire la matrice $A^{-1}$inverse de ${ A. }$

$A\times B=\begin{pmatrix} 4 & 2 & 5\\ 3& 1 &2 \\ 170 & 85 & 215 \end{pmatrix}\times\begin{pmatrix} -45 & 5 & 1\\ 305& -10& -7\\ -85& 0 & 2 \end{pmatrix}$

$=\begin{pmatrix} 5 & 0 & 0\\ 0& 5 & 0 \\0&0 &5\end{pmatrix}$

$\Longrightarrow\quad\boxed{A\times B=\begin{pmatrix} 5 & 0 & 0\\ 0& 5 & 0 \\0&0 &5\end{pmatrix}=5I_3\quad\text{où}\quad I_3=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0& 1 & 0 \\0&0 &1\end{pmatrix}}$

De même, nous obtenons par calcul que

$\boxed{B\times A=\begin{pmatrix} 5 & 0 & 0\\ 0& 5 & 0 \\0&0 &5\end{pmatrix}=5I_3\quad\text{où}\quad I_3=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0& 1 & 0 \\0&0 &1\end{pmatrix} }$

Nous en déduisons que : $A\times\left(\dfrac15 B\right)=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0& 1 & 0 \\0&0 &1\end{pmatrix} =\left(\dfrac15 B\right)\times A$

Donc la matrice inverse de $A$ est $A^{-1}= \dfrac 15 B.$

Or $\dfrac15 B=\dfrac 15\begin{pmatrix} -45 & 5 & 1\\ 305& -10& -7\\ -85& 0 & 2 \end{pmatrix}$ $\Longrightarrow$

$\dfrac15 B=\begin{pmatrix} -9 & 1 & \frac 15\\ 61& -2 & -\frac75\\ -17& 0 & \frac25 \end{pmatrix}$

Par conséquent, la matrice inverse de ${ A }$est

${\boxed{ A^{-1}=\begin{pmatrix} -9 & 1 & \frac 15\\ 61& -2 & -\frac75\\ -17& 0 & \frac25 \end{pmatrix}} }$

$2.$ Soit le système $(S)\;:\;\left\lbrace\begin{matrix} 4x& + & 2y & + & 5z & = & 3\,640\\ 3x& + & y& +& 2z & =& 1\,870\\ 170x& + & 85y & +& 215z &=& 155\,700 & \end{matrix}\right.$

$2.~a)$ Nous devons donner l'écriture matricielle de $(S).$

L'écriture matricielle de $(S)$ est $\begin{pmatrix} 4 & 2 & 5\\ 3& 1 &2 \\ 170 & 85 & 215 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y\\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3\,640\\ 1\,870\\155\,700 \end{pmatrix}$

$2.~b)$ Nous devons résoudre, dans $\R^3$ le système $(S)$

$\begin{pmatrix} 4 & 2 & 5\\ 3& 1 &2 \\ 170 & 85 & 215 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y\\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3\,640\\ 1\,870\\155\,700 \end{pmatrix}$

$\Longleftrightarrow\quad A\begin{pmatrix} x \\ y\\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3\,640\\ 1\,870\\155\,700 \end{pmatrix}$

$\Longleftrightarrow\quad \begin{pmatrix} x \\ y\\ z \end{pmatrix}=A^{-1}\begin{pmatrix} 3\,640\\ 1\,870\\155\,700 \end{pmatrix}$

$\Longleftrightarrow\quad \begin{pmatrix} x \\ y\\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -9 & 1 & \frac 15\\ 61& -2 & -\frac75\\ -17& 0 & \frac25 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3\,640\\ 1\,870\\155\,700 \end{pmatrix}$

$\Longleftrightarrow\quad \begin{pmatrix} x \\ y\\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -32\,760+1870+31\,140\\ 222\,040-3\,740-217\,980\\-61\,880+0+62\,280 \end{pmatrix}$

$\Longleftrightarrow\quad\boxed{\begin{pmatrix} x \\ y\\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 250\\320\\400 \end{pmatrix} }$

Par conséquent, le système $(S)$ admet comme solution : ${ \boxed{(x\;;\;y\;;\;z)=(250\;;\;320\;;\;400)}\,. }$

$3.$ Un atelier de forgeron fabrique des pièces en acier de trois types différents $(P_1),\,(P_2),\,(P_3).$

$\checkmark$ Une pièce de type $(P_1)$ nécessite 8 kg d'acier, 3 kg de peinture et 8 heures

30 minutes de durée de travail.

$\checkmark$ Une pièce de type $(P_2)$nécessite 4 kg d'acier, 1 kg de peinture et 4 heures

15 minutes de durée de travail.

$\checkmark$ Une pièce de type $(P_3)$nécessite 10 kg d'acier, 2 kg de peinture et 10 heures

45 minutes de durée de travail.

Nous devons déterminer le nombre de pièces fabriquées de chaque type pendant 7 785 heures de travail en utilisant 7 280 kg d'acier et 1 870 kg de peinture. [nl][nl]

Soit $x$ le nombre de pièces fabriquées de type $(P_1)$

$\quad\quad{y }$le nombre de pièces fabriquées de type $(P_2)$

$\quad\quad z$le nombre de pièces fabriquées de type $(P_3).$Les contraintes du problème peuvent se traduire par le système :

$\left\lbrace\begin{matrix}8x&+&4y&+&10z&=&7\,280\\3x&+&y&+&2z&=&1\,870\\8,5x&+&4,25y&+&10,75z&=&7\,785\end{matrix}\right.$

En divisant par 2 les termes de la première équation et en multipliant par 20 les termes de la troisième équation, nous obtenons le système équivalent suivant : [nl][nl]

$\left\lbrace\begin{matrix} 4x& + & 2y & + & 5z & = & 3\,640\\ 3x& + & y& +& 2z & =& 1\,870\\ 170x& + & 85y & +& 215z &=& 155\,700 & \end{matrix}\right.$

Ce système admet comme solution : ${\boxed{(x\;;\;y\;;\;z)=(250\;;\;320\;;\;400)} }$ (voir question $2.~b.$

En conclusion, pour répondre aux contraintes, l'atelier de forgeron doit fabriquer 250 pièces de type $(P_1)$, 320 pièces de type $(P_2)$et 400 pièces de type $(P_3).$