Matrices et transformations géométriques du plan (2)

Exercice 1 :
$\vec{u}=\begin{pmatrix}5-2 \\ 4-(-3)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3 \\ 7\end{pmatrix}$.
$\begin{pmatrix}x_B \\ y_B\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x_A \\ y_A\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}3 \\ 7\end{pmatrix}$.

Exercice 2 :
On reconnaît $\vec{u}=\begin{pmatrix}2 \\ -5\end{pmatrix}$.
Vérification : $\overrightarrow{MM'}=\begin{pmatrix}x'-x \\ y'-y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 \\ -5\end{pmatrix}=\vec{u}$.

Exercice 3 :

$\overrightarrow{CB}$ est l'image de $\overrightarrow{CA}$ par la rotation de centre $C$ et d'angle $\theta = \pi$.

On sait que : $\overrightarrow{CA}=\begin{pmatrix}2 \\ 1\end{pmatrix}$. Soit $\overrightarrow{CB}=\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}$

Cela s'écrit :

$\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos\pi&-\sin\pi\\\sin\pi&\cos\pi\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2\\-1\end{pmatrix}$

Donc après rotation, $\overrightarrow{CB}=\begin{pmatrix}-2 \\ -1\end{pmatrix}$.

Soit $\left\lbrace\begin{matrix}x_B-x_A&=&-2\\y_B-y_A&=&-1\end{matrix}\right.$
On obtient au final : $B(-1;-1)$.

Exercice 4 :

1. La matrice correspond à une rotation de centre l'origine du repère et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$.

2. On cherche les coordonnées $(x'\,;y')$ de l'image d'un point de coordonnées $(x\,;y)$.

   $\begin{pmatrix}x' \\ y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-y\\x\end{pmatrix}$

   $x'^2+y'^2=(-y)^2+(x)^2=x^2+y^2$, donc il y a bien conservation des longueurs.