Fonction : Obtenir un volume maximal pour une boîte en bois
Énoncé
Un menuisier artisan est mandaté pour construire une boîte en bois, en forme de pavé droit, dans un coin de pièce chez un client. Il utilise pour cela trois panneaux de bois. Les dimensions de la boîte sont indiquées sur le schéma, où . L'artisan voudrait utiliser le plus de bois possible, alors que le client voudrait lui obtenir un volume maximal.
1.
a) Montrer que la surface est donnée par la fonction S telle que pour .
b) À l'aide d'un tracé de courbe, conjecturer quelle est la surface maximale et pour quelle valeur de elle est atteinte.
c) Montrer que .
d) En déduire la démonstration de la conjecture faite au 1. b).
2. Exprimer le volume de la boîte en fonction de .
3.L'artisan et le client parviendront-ils à trouver une valeur de qui convienne à chacun ?
Révéler le corrigé
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1.a) « Montrer que la surface est donnée par »
La boîte est placée dans un coin de pièce et l’artisan n’utilise que panneaux : cela signifie que seules 3 faces de la boîte sont en bois (les deux autres faces sont “contre les murs” et le sol, donc pas de panneau à fournir).
D’après le schéma, les dimensions du pavé droit sont :
longueur
largeur
hauteur
Les trois panneaux correspondent aux trois rectangles suivants :
face du “dessus” : dimensions et donc aire
face latérale 1 : dimensions et donc aire
face latérale 2 : dimensions et donc aire
Donc la surface de bois utilisée est :
On regroupe :
On développe :
On a bien montré que :
pour .
👉 Conseil : dès qu’on te dit “3 panneaux”, tu ne dois surtout pas prendre la surface totale du pavé droit (qui compterait 6 faces).
1.b) « Conjecturer la surface maximale et la valeur de »
La fonction est une parabole ouverte vers le bas (coefficient de négatif), donc elle admet un maximum au sommet.
Par lecture graphique on conjecture :
surface maximale atteinte pour .
👉 Conseil : une parabole avec a toujours un maximum au sommet.
1.c) « Montrer que »
On part de :
On développe :
Donc :
Donc :
👉 Conseil : la forme s’appelle la forme canonique : elle sert directement à lire le maximum.
1.d) « Déduire la démonstration de la conjecture »
On a :
Or pour tout réel :
Donc :
Ainsi :
Le maximum est donc , et il est atteint quand :
soit
Conclusion :
la surface maximale vaut et elle est atteinte pour .
👉 Conseil : cette méthode évite le graphique et donne une preuve “propre”.
2) « Exprimer le volume »
Le volume d’un pavé droit est :
Ici :
Donc :
On peut aussi développer :
👉 Conseil : ne développe pas forcément tout de suite, la forme est souvent plus lisible.
3) « L’artisan et le client parviendront-ils à trouver une valeur de qui convienne à chacun ? »
L’artisan veut maximiser la surface .
On a montré que est maximale pour :
Le client veut maximiser le volume .
On trace les deux fonctions dans un même repère : En rouge S et en noir V
On peut remarquer que le client a son vœu exaucé puisqu'il a obtenu un volume maximum pour x=4
Donc est maximale pour :
Conclusion :
On peut remarquer que le client a son vœu exaucé puisqu'il a obtenu un volume maximum pour x=4
👉 Conseil : “convenir à chacun” ne veut pas forcément dire “maximiser les deux en même temps”, mais si chacun exige son maximum, alors ici c’est impossible car les maxima sont obtenus pour deux valeurs différentes.
