Fonction : Obtenir un volume maximal pour une boîte en bois

1.a) « Montrer que la surface est donnée par $S(x)=-x^2+12x$ »

La boîte est placée dans un coin de pièce et l’artisan n’utilise que $3$ panneaux : cela signifie que seules 3 faces de la boîte sont en bois (les deux autres faces sont “contre les murs” et le sol, donc pas de panneau à fournir).

D’après le schéma, les dimensions du pavé droit sont :
longueur $=6-x$
largeur $=x$
hauteur $=x$

Les trois panneaux correspondent aux trois rectangles suivants :
face du “dessus” : dimensions $(6-x)$ et $x$ donc aire $x(6-x)$
face latérale 1 : dimensions $(6-x)$ et $x$ donc aire $x(6-x)$
face latérale 2 : dimensions $x$ et $x$ donc aire $x^2$

Donc la surface de bois utilisée est :
$S(x)=x(6-x)+x(6-x)+x^2$

On regroupe :
$S(x)=2x(6-x)+x^2$

On développe :
$S(x)=2(6x-x^2)+x^2$

$S(x)=12x-2x^2+x^2$

$S(x)=-x^2+12x$

On a bien montré que :
$S(x)=-x^2+12x$ pour $x\in[0~;~6]$.

👉 Conseil : dès qu’on te dit “3 panneaux”, tu ne dois surtout pas prendre la surface totale du pavé droit (qui compterait 6 faces).

1.b) « Conjecturer la surface maximale et la valeur de $x$ »

La fonction $S(x)=-x^2+12x$ est une parabole ouverte vers le bas (coefficient de $x^2$ négatif), donc elle admet un maximum au sommet.

Par lecture graphique on conjecture :
surface maximale $=36$ atteinte pour $x=6$.

👉 Conseil : une parabole $ax^2+bx+c$ avec $a<0$ a toujours un maximum au sommet.

1.c) « Montrer que $S(x)=-(x-6)^2+36$ »

On part de : $-(x-6)^2+36$

On développe $(x-6)^2$ : $(x-6)^2=x^2-12x+36$

Donc : $-(x-6)^2+36=-(x^2-12x+36)+36$

$=-x^2+12x-36+36$

$=-x^2+12x$

Donc :
$S(x)=-(x-6)^2+36$

👉 Conseil : la forme $-(x-6)^2+36$ s’appelle la forme canonique : elle sert directement à lire le maximum.

1.d) « Déduire la démonstration de la conjecture »

On a :
$S(x)=-(x-6)^2+36$

Or pour tout réel $x$ :
$(x-6)^2\ge0$

Donc :
$-(x-6)^2\le0$

Ainsi :
$S(x)\le36$

Le maximum est donc $36$, et il est atteint quand :
$(x-6)^2=0$ soit $x=6$

Conclusion :
la surface maximale vaut $36$ et elle est atteinte pour $x=6$.

👉 Conseil : cette méthode évite le graphique et donne une preuve “propre”.

2) « Exprimer le volume $V(x)$ »

Le volume d’un pavé droit est :
$V=L\times l\times h$

Ici :
$L=6-x$
$l=x$
$h=x$

Donc :
$V(x)=(6-x)\times x\times x$

$V(x)=x^2(6-x)$

On peut aussi développer :
$V(x)=6x^2-x^3$

👉 Conseil : ne développe pas forcément tout de suite, la forme $x^2(6-x)$ est souvent plus lisible.

3) « L’artisan et le client parviendront-ils à trouver une valeur de $x$ qui convienne à chacun ? »

L’artisan veut maximiser la surface $S(x)$.
On a montré que $S$ est maximale pour : $x=6$

Le client veut maximiser le volume $V(x)=6x^2-x^3$.

On trace les deux fonctions dans un même repère : En rouge S et en noir V

On peut remarquer que le client a son vœu exaucé puisqu'il a obtenu un volume maximum pour x=4

Donc $V$ est maximale pour : $x=4$

Conclusion :
On peut remarquer que le client a son vœu exaucé puisqu'il a obtenu un volume maximum pour x=4

👉 Conseil : “convenir à chacun” ne veut pas forcément dire “maximiser les deux en même temps”, mais si chacun exige son maximum, alors ici c’est impossible car les maxima sont obtenus pour deux valeurs différentes.