Les vecteurs

Exercice 1

On considère les points $A$, $B$, $C$.

1. Construire $D$ tel que $\overrightarrow{\text{AD}}=\dfrac{7}{3}\overrightarrow{\text{AC}}$

Comme $\dfrac{7}{3}>1$, le point $D$ est sur la demi-droite $[AC)$, au-delà de $C$.
On a $\text{AD}=\dfrac{7}{3}\text{AC}$, donc $\text{CD}=\text{AD}-\text{AC}=\left(\dfrac{7}{3}-1\right)\text{AC}=\dfrac{4}{3}\text{AC}$.

👉 Conseil : quand le coefficient est supérieur à $1$, tu sais tout de suite que le point est “après” $C$ sur la même direction.

2. Construire la parallèle menée par $C$ à $(DB)$. Cette parallèle rencontre $(AB)$ en $G$.

On trace la droite passant par $C$ et parallèle à $(DB)$ ; elle coupe $(AB)$ en $G$.

👉 Conseil : pense “Thalès” dès que tu vois une parallèle dans un triangle.

3. Calculer $\dfrac{\text{AB}}{\text{AG}}$

On se place dans le triangle $ADB$.
Le point $C$ appartient à $[AD]$ (puisque $D$ est construit sur $[AC)$ avec $C$ entre $A$ et $D$), et la droite $(CG)$ est parallèle à $(DB)$.
Donc, d’après le théorème de Thalès, les triangles $ACG$ et $ADB$ sont semblables et on a :
$\dfrac{\text{AG}}{\text{AB}}=\dfrac{\text{AC}}{\text{AD}}$

On en déduit :
$\dfrac{\text{AB}}{\text{AG}}=\dfrac{\text{AD}}{\text{AC}}$

Or $\overrightarrow{\text{AD}}=\dfrac{7}{3}\overrightarrow{\text{AC}}$ implique $\dfrac{\text{AD}}{\text{AC}}=\dfrac{7}{3}$.
Donc :
$\dfrac{\text{AB}}{\text{AG}}=\dfrac{7}{3}$

👉 Conseil : écris d’abord la proportion de Thalès dans le bon sens, puis inverse seulement à la fin si on te demande $\dfrac{\text{AB}}{\text{AG}}$.

Exercice 2

1. Soit I le milieu du segment [AB] et M un point quelconque. Compléter :
   $\overrightarrow{\text{IA}}+\overrightarrow{\text{IB}}=\overrightarrow{0}$
   $\overrightarrow{\text{MA}}=\overrightarrow{\text{MI}}+\overrightarrow{\text{IA}}$
   $\overrightarrow{\text{MB}}=\overrightarrow{\text{MI}}+\overrightarrow{\text{IB}}$
   Donc $\overrightarrow{\text{MA}}+\overrightarrow{\text{MB}}=2\overrightarrow{\text{MI}}+\overrightarrow{\text{IA}}+\overrightarrow{\text{IB}}$

👉 Conseil : dès que tu vois “milieu”, pense à $\overrightarrow{\text{IA}}+\overrightarrow{\text{IB}}=\overrightarrow{0}$.

2. D'après la question précédente $\overrightarrow{\text{MA}}+\overrightarrow{\text{MB}}=2\overrightarrow{\text{MI}}+\overrightarrow{\text{IA}}+\overrightarrow{\text{IB}}$.
   Si nous avons un point M tel que $\overrightarrow{\text{MA}}+\overrightarrow{\text{MB}}=2\overrightarrow{\text{MI}}$ alors $\overrightarrow{\text{IA}}+\overrightarrow{\text{IB}}=\overrightarrow{0}$, donc I est le milieu de [AB].

👉 Conseil : repère la “même expression” des deux côtés, puis soustrais-la proprement.

3. Conclusion :
   I est le milieu de [AB] si et seulement si $\overrightarrow{\text{IA}}+\overrightarrow{\text{IB}}=\overrightarrow{0}$

👉 Conseil : “si et seulement si” signifie que tu as prouvé les deux sens.

Exercice 3

$12~\vec{u}-48~\vec{v}+5~\vec{v}=12~\vec{u}-43~\vec{v}$
$8~\vec{u}+3~\vec{v}-5(\vec{u}-\vec{v})=3~\vec{u}+8~\vec{v}$
$3~\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{BA}}+\overrightarrow{\text{BC}}-\overrightarrow{\text{AC}}=\overrightarrow{\text{AB}}$

👉 Conseil : utilise $\overrightarrow{\text{BA}}=-\overrightarrow{\text{AB}}$ et $\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{BC}}=\overrightarrow{\text{AC}}$.

$3~\overrightarrow{\text{AM}}=3~\overrightarrow{\text{AN}}$ ; M et N sont confondus
$3~\overrightarrow{\text{AM}}=2~\overrightarrow{\text{AN}}$ ; A,M,N sont alignés dans cet ordre et AN=1,5 AM.
$3~\overrightarrow{\text{AM}}=-3~\overrightarrow{\text{AN}}$ ; A est le milieu de [MN]

👉 Conseil : un coefficient négatif indique un changement de sens, donc souvent un “milieu” ou une symétrie.