Produit d'un vecteur par un réel et colinéarité

On écrit souvent un vecteur à l'aide d'une seule lettre, par exemple : $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}$ signifie :

I. Produit d’un vecteur par un réel $k$

$1.$ Exemples

Soit un vecteur $\overrightarrow{u}$. Le vecteur $2\overrightarrow{u}$ est égal à $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{u}$.

Cela signifie qu'on agrandit ou rétrécit le vecteur, éventuellement en changeant son sens si $k < 0$.

$2.$ Construire un vecteur comme somme de deux vecteurs ou produit par un réel

On donne deux vecteurs $\overrightarrow u$ et $\overrightarrow v$.

Construire à partir d'un point $A$ quelconque du plan le vecteur $2\overrightarrow u+3\overrightarrow v$ .

On peut écrire : $\overrightarrow {AB}=2\overrightarrow u+3\overrightarrow v$

II. Vecteurs colinéaires

Définition

Deux vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont colinéaires s’il existe un réel $k$ tel que : $\overrightarrow{v} = k \cdot \overrightarrow{u}$

Cela signifie qu’ils ont la même direction, éventuellement un sens opposé.

Remarque : Le vecteur nul $\overrightarrow 0$ est colinéaire à tous les vecteurs.

Exemple :

On donne la relation vectorielle suivante : $2\overrightarrow u-3\overrightarrow v=\overrightarrow 0$. Ces vecteurs sont-ils colinéaires ?

Solution :

$2\overrightarrow u-3\overrightarrow v=\overrightarrow 0\iff 2\overrightarrow u=3\overrightarrow v$

${\phantom{2\overrightarrow u-3\overrightarrow v=\overrightarrow 0}\iff \overrightarrow u=\dfrac 32\overrightarrow v}$

Il existe donc le réel $k=\dfrac 32$ tel que $\overrightarrow u=k\overrightarrow v$

Les vecteurs $\overrightarrow u$ et $\overrightarrow v$ sont colinéaires.