Et maintenant, en seconde : Vecteurs et translation

I. Le vecteur $\overrightarrow{MM'}$

Un vecteur est associé à une translation : il représente le déplacement qui transforme un point $M$ en un point $M'$.

Le vecteur $\overrightarrow{MM'}$ est défini par :

• sa direction : la droite $(MM')$

• son sens : de $M$ vers $M'$

• sa norme : la longueur du segment $[MM']$

On le note avec une flèche : $\overrightarrow{MM'}$

On dit que $M'$ est l'image de $M$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{MM'}$

Exemple :

Si on déplace un point $M$ vers $M'$ en suivant une droite, on trace une flèche de $M$ vers $M'$. Cette flèche est le vecteur $\overrightarrow{MM'}$.

II. Égalité de deux vecteurs : un parallélogramme

Deux vecteurs sont égaux s’ils ont :

• la même direction

• le même sens

• la même norme

Autrement dit, ils traduisent le même déplacement, même s’ils ne sont pas placés au même endroit.

On peut alors écrire : $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$

Exemple :

Si le déplacement de $A$ vers $B$ est identique à celui de $C$ vers $D$, alors les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont égaux.

Propriété :

Dire que $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$revient à dire que la figure $ABDC$ est un parallélogramme.

Ici : $\overrightarrow{RS}=\overrightarrow{UT}\Leftrightarrow RSTU \text{ est un parallélogramme}$

III. Le vecteur nul

Le vecteur nul, noté $\overrightarrow{0}$, est le vecteur qui ne provoque aucun déplacement. Il a :

• aucune direction

• aucun sens

• une norme nulle

On l’associe à un point $M$ tel que $M = M'$, donc $\overrightarrow{MM} = \overrightarrow{0}$

IV. Caractérisation du milieu d'un segment par des vecteurs

Soient $A$ et $B$ deux points du plan.

Le milieu $I$ de $[AB]$ est défini par $\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{IB}$

V. Vecteurs opposés

L'opposé de $\overrightarrow{AB}$ se nomme $\overrightarrow{BA}$

Définition

Deux vecteurs sont opposés si :

$\checkmark$ ils ont ma même direction

$\checkmark$ ils ont la même norme

$\checkmark$ ils sont de sens contraire

IV. Somme de deux vecteurs – Relation de Chasles

Si on enchaîne deux translations, on obtient une translation équivalente. Cela se traduit par la relation de Chasles :

$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$

Autrement dit, si on va de $A$ à $B$, puis de $B$ à $C$, c’est comme si on allait directement de $A$ à $C$.

On construit la somme $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}$ en plaçant bout à bout les deux vecteurs (le point d’arrivée du premier devient le point de départ du second).

Exemple :

On place un point $A$, on trace $\overrightarrow{AB}$, puis on place le point $C$ tel que $\overrightarrow{BC}$ suive $\overrightarrow{AB}$. Alors $\overrightarrow{AC}$ est la somme des deux vecteurs.

V. Conséquence : Soustraire deux vecteurs

Pour soustraire un vecteur, on ajoute son opposé.

Exemple :

$\overrightarrow{AB} {\underbrace{- \overrightarrow{CD}}} = \overrightarrow{AB} {\underbrace{+ \overrightarrow{DC}}}$

VI. Exercice corrigé

Exercice 1 :

Soient trois points $A$, $B$ et $C$ tels que $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$.
Construire un point $D$, un point $E$ et un point $F$ tels que :
$1.$ $\overrightarrow{AD}+ \overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AC}$

$2.$ $\overrightarrow{AE}+ \overrightarrow{EC}=\overrightarrow{AC}$

$3.$ $\overrightarrow{BF}+ \overrightarrow{FC}=\overrightarrow{BC}$

Correction :

Voilà un dessin possible, mais il y a une infinité de points $D$, $E$ ou $F$ répondant à la question.

Résumé à retenir

• Un vecteur représente une translation.

• Il possède une direction, un sens, une norme.

• Deux vecteurs sont égaux s’ils ont même direction, sens et norme.

• La somme de deux vecteurs se construit en les plaçant bout à bout.

• La relation de Chasles permet de simplifier une chaîne de translations.