Les fonctions affines

$f(x) = -7x + 5$ est de la forme $ax + b$ : il s'agit bien d'une fonction affine.

👉 Petit conseil : reconnais toujours une fonction affine en vérifiant qu’elle est exactement de la forme $ax + b$.

coefficient directeur : $a = -7$
ordonnée à l'origine : $b = 5$

variation : $a < 0$, donc la fonction est décroissante.

👉 Petit conseil : le signe de $a$ suffit pour connaître le sens de variation, inutile de calculer des images.

signe : $f(x) = 0$ pour $x = -\dfrac{b}{a} = \dfrac{5}{7}$

$\begin{array}{|c|cccccc|} x & -\infty & & \frac{5}{7} & & +\infty & \\ \hline \text{signe de } -7x + 5 & & + & 0 & - & & \end{array}$

La courbe représentative de la fonction $f$ est une droite.
Pour la tracer, il suffit de placer 2 points $A$ et $B$, et de les relier à la règle.

👉 Petit conseil : choisis des valeurs simples pour $x$ afin d’éviter les calculs compliqués.

on choisit 2 valeurs de $x$ « au hasard », et on calcule leur image.
pour $x = 0$, on a $f(0) = -7 \times 0 + 5 = 5$ ce qui donne le point $A(0 ; 5)$.
pour $x = 1$, on a $f(1) = -7 \times 1 + 5 = -2$ ce qui donne le point $B(1 ; -2)$.

$b.\ g(x) = 8 + 2x$

en l'écrivant sous la forme $ax + b$, on obtient $g(x) = 2x + 8$, et on voit qu'il s'agit d'une fonction affine avec $a = 2$ et $b = 8$.

Variation : $a > 0$, donc la fonction est croissante sur $\mathbb R$.

👉 Petit conseil : une fonction affine croissante « monte » de gauche à droite.

signe : $g(x) = 0$ pour $x = -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{8}{2} = -4$.

$\begin{array}{|c|cccccc|} x & -\infty & & -4 & & +\infty & \\ \hline \text{signe de } 2x + 8 & & - & 0 & + & & \end{array}$

pour $x = 0$, on a $g(0) = 8$ (ordonnée à l'origine) ce qui donne le point $A(0 ; 8)$.
pour $x = -2$, on a $g(-2) = 2 \times (-2) + 8 = -4 + 8 = 4$ ce qui donne le point $B(-2 ; 4)$.

$c.\ h(x) = \sqrt{2}x + 5$

$h$ est une fonction affine avec $a = \sqrt{2}$ et $b = 5$.

variation : $a > 0$, la fonction est croissante sur $\mathbb R$.

signe : $h(x) = 0$ pour $x = -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{5}{\sqrt{2}}$.

$\begin{array}{|c|cccccc|} x & -\infty & & -\frac{5}{\sqrt{2}} & & +\infty & \\ \hline \text{signe de } \sqrt{2}x + 5 & & - & 0 & + & & \end{array}$

Les points $A(0 ; 5)$ et $B(-4 ; -4\sqrt{2} + 5)$ sont deux points de la droite représentative de $h$.

👉 Petit conseil : même avec une racine, tant que $x$ n’est pas sous la racine, la fonction reste affine.

$d.\ j(x) = 8\sqrt{x} - 3$ n'est pas de la forme $ax + b$.

La fonction $j$ n'est donc pas une fonction affine ($x$ intervient ici par sa racine carrée).

👉 Petit conseil : dès que $x$ est sous une racine, un carré ou un dénominateur, ce n’est plus une fonction affine.

$e.\ k(x) = -3x$ est de la forme $ax + b$ avec $a = -3$ et $b = 0$.

C'est donc une fonction affine, et même une fonction linéaire, cas particulier d'une fonction affine.
L'étude de sa variation et celle de son signe s'étudient donc de la même façon.

variation : $a < 0$, donc la fonction est décroissante sur $\mathbb R$.

signe : $k(x) = 0$ pour $x = 0$.
La fonction est positive pour $x < 0$, négative pour $x > 0$.

👉 Petit conseil : une fonction linéaire passe toujours par l’origine du repère.

On sait que sa représentation graphique passe par l'origine du repère, il suffit alors de connaître un seul autre point de la droite, soit par exemple $A(-1 ; 3)$.