Parité d'une fonction : fonction paire, fonction impaire

Exercice 1

On considère les fonctions définies sur $\mathbb{R}$ suivantes et on cherche si elles sont paires, impaires ou ni paire ni impaire.

1. Pour $f(x)=x^2$
   On vérifie d’abord que $D_f=\mathbb{R}$ est symétrique par rapport à $0$ (oui).
   On calcule $f(-x)$ :
   $f(-x)=(-x)^2=x^2=f(x)$
   Donc $f$ est paire.
   👉 Conseil : pense “paire = même valeur” : $f(-x)=f(x)$.

2. Pour $g(x)=x^3$
   On a $D_g=\mathbb{R}$, symétrique par rapport à $0$.
   On calcule $g(-x)$ :
   $g(-x)=(-x)^3=-x^3=-g(x)$
   Donc $g$ est impaire.
   👉 Conseil : si une puissance est impaire (comme $3$), le signe “sort” : $(-x)^3=-x^3$.

3. Pour $h(x)=x^2+x$
   On a $D_h=\mathbb{R}$, symétrique par rapport à $0$.
   On calcule $h(-x)$ :
   $h(-x)=(-x)^2+(-x)=x^2-x$
   On compare avec $h(x)=x^2+x$.
   On voit que $h(-x)\neq h(x)$.
   On compare aussi avec $-h(x)=-(x^2+x)=-x^2-x$.
   On voit que $h(-x)=x^2-x\neq -x^2-x=-h(x)$.
   Donc $h$ est ni paire ni impaire.
   👉 Conseil : si tu hésites, teste les deux comparaisons : $f(-x)=f(x)$ puis $f(-x)=-f(x)$.

4. Pour $k(x)=x^4-3$
   On a $D_k=\mathbb{R}$, symétrique par rapport à $0$.
   On calcule $k(-x)$ :
   $k(-x)=(-x)^4-3=x^4-3=k(x)$
   Donc $k$ est paire.
   👉 Conseil : une puissance paire (comme $4$) “efface” le signe : $(-x)^4=x^4$.

Exercice 2

On considère $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=2x^2-5$.

1. Vérifier que l’ensemble de définition est symétrique par rapport à $0$
   Ici $D_f=\mathbb{R}$.
   Comme pour tout réel $x$, $-x$ est aussi un réel, alors $\mathbb{R}$ est symétrique par rapport à $0$.
   👉 Conseil : dès que tu vois “définie sur $\mathbb{R}$”, la symétrie du domaine est validée.

2. Calculer $f(-x)$
   $f(-x)=2(-x)^2-5$
   $f(-x)=2x^2-5$

3. Conclure sur la parité
   On compare $f(-x)$ et $f(x)$ :
   $f(x)=2x^2-5$ et $f(-x)=2x^2-5$ donc $f(-x)=f(x)$
   Ainsi, $f$ est paire.
   👉 Conseil : dans une expression, les termes en $x^2$, $x^4$… gardent le même signe quand on remplace $x$ par $-x$.

Exercice 3

On considère $g$ définie sur $\mathbb{R}\setminus{0}$ par $g(x)=\dfrac{1}{x}$.

1. Vérifier que l’ensemble de définition est symétrique par rapport à $0$
   $D_g=\mathbb{R}\setminus{0}$.
   Si $x\neq 0$, alors $-x\neq 0$ aussi.
   Donc, dès que $x$ est dans $D_g$, $-x$ l’est aussi : le domaine est symétrique par rapport à $0$.
   👉 Conseil : pour les fonctions “avec division”, repère les valeurs interdites, puis vérifie si elles sont symétriques (ici $0$ est “au centre”).

2. Calculer $g(-x)$
   $g(-x)=\dfrac{1}{-x}=-\dfrac{1}{x}$

3. Conclusion
   On a $g(-x)=-\dfrac{1}{x}=-g(x)$
   Donc $g$ est impaire.
   👉 Conseil : pour $g(x)=\dfrac{1}{x}$, la symétrie est celle de l’origine : impaire.

Exercice 4

On considère $h$ définie sur $[-2;5]$ par $h(x)=x^2-1$.

1. L’ensemble de définition est-il symétrique par rapport à $0$ ?
   Le domaine est $D_h=[-2;5]$.
   Pour que ce soit symétrique par rapport à $0$, il faudrait que si $x$ est dans $[-2;5]$, alors $-x$ soit aussi dans $[-2;5]$.
   Or $5\in[-2;5]$ mais $-5\notin[-2;5]$.
   Donc $D_h$ n’est pas symétrique par rapport à $0$.
   👉 Conseil : prends un nombre “extrême” du domaine (ici $5$) et vérifie si son opposé est encore dedans.

2. Peut-on étudier la parité de la fonction $h$ ?
   Non, car la parité (paire ou impaire) exige que $D_h$ soit symétrique par rapport à $0$.

3. Conclusion
   La fonction $h$ est ni paire ni impaire (l’étude s’arrête dès le domaine).
   👉 Conseil : réflexe n°1 : toujours regarder le domaine avant de calculer $h(-x)$.

Exercice 5

On considère une fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ et on observe que sa courbe est symétrique par rapport à l’origine du repère.

1. Quelle relation lie $f(x)$ et $f(-x)$ ?
   Une symétrie par rapport à l’origine signifie que le point $(x;f(x))$ devient $(-x;-f(x))$.
   Donc on a la relation :
   $f(-x)=-f(x)$
   👉 Conseil : “symétrie origine” = les deux coordonnées changent de signe.

2. La fonction est-elle paire ou impaire ?
   Comme $f(-x)=-f(x)$, la fonction est impaire.

3. Justifier par la définition
   Une fonction est impaire si $D_f$ est symétrique par rapport à $0$ (ici $D_f=\mathbb{R}$ donc oui) et si, pour tout $x\in D_f$, $f(-x)=-f(x)$.
   C’est exactement ce qu’on a, donc $f$ est impaire.
   👉 Conseil : associe les symétries : axe des ordonnées $\leftrightarrow$ paire, origine $\leftrightarrow$ impaire.