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Les congruences

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Vérification modulaire simple : en observant les périodes des restes on conclut que les solutions se répètent, d’où les formes recherchées. Mots clés : arithmétique modulaire, congruences, période des restes, modulo 9, ppcm, ensemble des solutions.

Énoncé

Déterminer l'ensemble des entiers naturels $x$ tels que $2^x \equiv x^2$ (modulo 9).

Révéler le corrigé

Il suffit d'examiner les valeurs possibles pour $2^x$ et $x^2$ (modulo 9) en dressant le tableau suivant :

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Le tableau montre que pour $2^x$ la "période" des restes modulo 9 est de 6 et pour $x^2$ cette "période" est de 9. Le plus petit commun multiple de 6 et 9 est 18.

On en déduit pour tout $x \in \textbf{N} \, : \, 2^x \equiv x^2$ (modulo 9) si : $x \equiv 2~(18) \text{ ou } x \equiv 4~(18)$

L'ensemble des entiers naturels tels que $2^x \equiv x^2$ (modulo 9) est : $18k+2 ; 18k + 4$ avec $k \in \textbf{N}$

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