Divisibilité dans Z

Exercice 1

On a $\overline{abcabc} = \overline{abc} \times 1000 + \overline{abc} \times 1$
Donc $\overline{abcabc} = \overline{abc} \times 1001 = \overline{abc} \times 7 \times 11 \times 13$
$\overline{abc}$, 7 et 11 sont des nombres entiers ; leur produit aussi.
13 est donc un diviseur de $\overline{abc}$. Il en de même pour 7 et 11.
La conclusion en découle.

Exercice 2

On va utiliser une démonstration par récurrence.
On note $P(n)$ la propriété : "3 divise $4^n-1$".
$\checkmark$ Pour $n = 0$ : $4^0 - 1 = 1 - 1 = 0$ est divisible par 3, donc $P(0)$ est vraie.

$\checkmark$ On suppose $P(n)$ vraie ce qui se traduit par : il existe un entier naturel $k$ tel que $4^n - 1 = 3k$, donc $4^n = 3k + 1$
Au rang $n + 1$ : $4^{n+1} - 1 = 4 \times 4^n - 1 = 4 \times (3k + 1) - 1 = 4 \times 3k + 4 \times 1 - 1 = 4 \times 3k + 3 = 3(4k + 1)$

$\checkmark$ Conclusion : D'après le principe de récurrence : pour tout entier naturel $n$, 3 divise $4^n - 1$.