Le théorème de Gauss : une équation à résoudre

$x = \dfrac{p}{q}$ est solution de (1) donc $3\left(\dfrac{p}{q}\right)^3 + \left(\dfrac{p}{q}\right)^2 + 4 \left(\dfrac{p}{q}\right) - 4 = 0$

Par multiplication par $q^3$, on trouve : $3p^3 + p^2 q + 4pq^2 - 4q^3 = 0$ où $p \left(3p^2 + pq + 4q^2 \right) = 4q^3$ avec l'expression entre parenthèse qui appartient à $\textbf{Z}$
$p$ divise $4q^3 = 4q^2 \times q$

Par hypothèse $\dfrac{p}{q}$ est irréductible donc $p$ est premier avec $q$.

D'après le théorème de Gauss, $p$ divise $4q^2$ et en appliquant à nouveau ce théorème $p$ divise $4q$ puis que $p$ divise 4.

Par hypothèse $x = \dfrac{p}{q} \lt 1$ avec $q \gt 0$ et donc $p \lt q$.

$p$ divise 4.
Donc $p = 1 ~,~2 \text{ ou } 4$ et $q$ divise 3, donc $q = 1 \text{ ou } q= 3$. (En effet, on a également $q(p^2 + 4pq - 4q^2 = -3p^3$

On en déduit que les valeurs possibles de $\dfrac{p}{q}$ sont $\dfrac{p}{q} = \dfrac{1}{3}$ ou $\dfrac{p}{q} = \dfrac{2}{3}$.
Après vérification avec l'équation (1), seule la deuxième valeur trouvée est solution, soit $\dfrac{2}{3}$.