Le théorème de Gauss : une équation diophantienne

1ère étape : on cherche une solution particulière en faisant appel à l'algorithme d'Euclide
$405 = 120 × 3 + 45$ (1)
$120 = 45 × 2 + 30$(2)
$45 = 30 × 1 + 15$ (3)
$30 = 15 × 2 + 0$ (4)
Le dernier reste non nul est le pgcd des 2 nombres, donc pgcd(405 ; 120) = 15.
On pourra exprimer 15 en fonction de 405 et 120 en remontant de la division (3) à la division (1).
$15 = 45 - 1 × 30$ d'après (3).
$15 = 45 - 1 × (120 - 2 × 45)$ d'après (2).
$15 = 405 - 3 × 120 - 1 × (120 - 2 × (405 - 3 × 120))$ d'après (1).
Soit $15 = 3 × 405 - 10 × 120$
On tire $x = 3$ et $y = 10$.

2ème étape : la solution générale en utilisant la solution particulière et le théorème de Gauss

$405x - 120y = 405 \times 3 - 10 \times 120 \ \iff 405(x - 3) = 120(y - 10)\ \iff 27(x - 3) = 8(y - 10)$

27 et 8 sont premiers entre eux, donc d'après le théorème de Gauss, 27 divise $y - 10$, donc il existe $k \in \textbf{Z}$ tel que :
$y - 10 = 27k$ soit $y = 27k + 10$
De même, $x - 3 = 8k'$ donc $x = 8k' + 3$ avec $k' \in \textbf{Z}$
Or $27(x - 3) = 8(y - 10$ donc $27\times 8k=8\times 27k'$ et $k=k'$

Réciproquement, si $x = 8k + 3$ et $y = 27k + 10$, alors $405x - 120y = 15$

Conclusion : l'ensemble solution de (E) est l'ensemble de tous les couples $(x\;;\;y$) tels que : $x = 8k + 3 \, ; \, y = 27k + 10 \text{ avec } k \in \textbf{Z}$