La fonction racine carrée

Exercice 1

On considère la fonction racine carrée $f$ définie par $f(x)=\sqrt{x}$.
Dans chacun des cas suivants, déterminer l’image du nombre donné par la fonction $f$.

👉 Petit conseil : avant de calculer, vérifie toujours que le nombre est bien $\geq 0$, sinon la racine carrée n’est pas définie dans $\mathbb R$.

1 $0$
$f(0)=\sqrt{0}=0$.

2 $1$
$f(1)=\sqrt{1}=1$.

3 $4$
$f(4)=\sqrt{4}=2$.

4 $0{,}04$
$0{,}04=\dfrac{4}{100}=\dfrac{1}{25}$.
Donc $f(0{,}04)=\sqrt{0{,}04}=\sqrt{\dfrac{1}{25}}=\dfrac{1}{5}=0{,}2$.

👉 Petit conseil : transforme les décimaux en fractions simples quand tu peux, ça évite les erreurs.

5 $2{,}25$
$2{,}25=\dfrac{225}{100}=\dfrac{9}{4}$.
Donc $f(2{,}25)=\sqrt{2{,}25}=\sqrt{\dfrac{9}{4}}=\frac{3}{2}=1{,}5$.

6 $10$
$f(10)=\sqrt{10}$.
On ne peut pas simplifier davantage, donc on laisse $\sqrt{10}$.

👉 Petit conseil : si le nombre n’est pas un carré parfait, on laisse la racine sous forme $\sqrt{\cdot}$.

7 $\dfrac{1}{4}$
$f\left(\dfrac{1}{4}\right)=\sqrt{\dfrac{1}{4}}=\dfrac{1}{2}$.

Exercice 2

Dans chacun des cas suivants, déterminer si l’image par la fonction racine carrée est définie.
Si elle est définie, calculer cette image.

👉 Petit conseil : la fonction $\sqrt{x}$ n’est définie dans $\mathbb R$ que pour $x\geq 0$.

1 $-4$
$-4<0$, donc $\sqrt{-4}$ n’est pas définie dans $\mathbb R$.

2 $9$
$9\geq 0$, donc $\sqrt{9}=3$.

3 $-0{,}25$
$-0{,}25<0$, donc $\sqrt{-0{,}25}$ n’est pas définie dans $\mathbb R$.

4 $16$
$16\geq 0$, donc $\sqrt{16}=4$.

5 $-1$
$-1<0$, donc $\sqrt{-1}$ n’est pas définie dans $\mathbb R$.

6 $0$
$0\geq 0$, donc $\sqrt{0}=0$.

Exercice 3

Comparer les nombres suivants en utilisant la fonction racine carrée, sans calculatrice.

👉 Petit conseil : sur $\mathbb R^+$, la fonction racine carrée est croissante, donc l’ordre est conservé.

1 $\sqrt{3}$ et $\sqrt{5}$
Comme $3<5$, alors $\sqrt{3}<\sqrt{5}$.

2 $\sqrt{0{,}5}$ et $\sqrt{0{,}8}$
Comme $0{,}5<0{,}8$, alors $\sqrt{0{,}5}<\sqrt{0{,}8}$.

3 $\sqrt{7}$ et $\sqrt{10}$
Comme $7<10$, alors $\sqrt{7}<\sqrt{10}$.

4 $\sqrt{2{,}25}$ et $\sqrt{4}$
Comme $2{,}25<4$, alors $\sqrt{2{,}25}<\sqrt{4}$.

Exercice 4

Dans chacun des cas suivants, déterminer un encadrement de $\sqrt{x}$.

👉 Petit conseil : si $a\leq x\leq b$ avec $a\geq 0$, alors $\sqrt{a}\leq \sqrt{x}\leq \sqrt{b}$.

1 $x \in [1 ; 4]$
On a $\sqrt{1}\leq \sqrt{x}\leq \sqrt{4}$.
Donc $1\leq \sqrt{x}\leq 2$.

2 $x \in [0 ; 9]$
On a $\sqrt{0}\leq \sqrt{x}\leq \sqrt{9}$.
Donc $0\leq \sqrt{x}\leq 3$.

3 $x \in [4 ; 16]$
On a $\sqrt{4}\leq \sqrt{x}\leq \sqrt{16}$.
Donc $2\leq \sqrt{x}\leq 4$.

4 $x \in [0{,}25 ; 2{,}25]$
On a $\sqrt{0{,}25}\leq \sqrt{x}\leq \sqrt{2{,}25}$.
Or $\sqrt{0{,}25}=0{,}5$ et $\sqrt{2{,}25}=1{,}5$.
Donc $0{,}5\leq \sqrt{x}\leq 1{,}5$.

Exercice 5

On considère la fonction $f$ définie par $f(x)=\sqrt{x}$.

1 Compléter le tableau suivant :

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline x & 0{,}16 & 1 & 3{,}24 & 25 \\ \hline f(x)=\sqrt{x} & & & & \\ \hline \end{array}$

$0{,}16=\dfrac{16}{100}=\dfrac{4}{25}$, donc $\sqrt{0{,}16}=\sqrt{\dfrac{4}{25}}=\dfrac{2}{5}=0{,}4$.
$\sqrt{1}=1$.
$3{,}24=\dfrac{324}{100}=\dfrac{81}{25}$, donc $\sqrt{3{,}24}=\sqrt{\dfrac{81}{25}}=\dfrac{9}{5}=1{,}8$.
$\sqrt{25}=5$.

Tableau complété :

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline x & 0{,}16 & 1 & 3{,}24 & 25 \\ \hline f(x)=\sqrt{x} & 0{,}4 & 1 & 1{,}8 & 5 \\ \hline \end{array}$

👉 Petit conseil : repère les décimaux qui viennent de carrés parfaits comme $0{,}16=\left(0{,}4\right)^2$ ou $3{,}24=\left(1{,}8\right)^2$.

2 Écrire une inégalité traduisant le rangement de deux valeurs de $x$ et de leurs images par $f$.
Par exemple $0{,}16<3{,}24$, donc $\sqrt{0{,}16}<\sqrt{3{,}24}$, c’est-à-dire $0{,}4<1{,}8$.

Exercice 6

Résoudre dans $\mathbb{R}$ les inéquations suivantes.

👉 Petit conseil : commence toujours par écrire la condition $x\geq 0$ car $\sqrt{x}$ n’existe que pour $x\geq 0$.

1 $\sqrt{x} \geq 3$
On a $x\geq 0$.
Comme $\sqrt{x}\geq 3$ et que les deux membres sont positifs, on peut élever au carré :
$x\geq 9$.
Solution : $[9 ; +\infty[$.

2 $\sqrt{x} \leq 5$
On a $x\geq 0$.
Comme $\sqrt{x}\leq 5$ et que les deux membres sont positifs, on peut élever au carré :
$x\leq 25$.
Avec $x\geq 0$, solution : $[0 ; 25]$.

3 $\sqrt{x} < 2$
On a $x\geq 0$.
Comme $\sqrt{x}<2$ et que les deux membres sont positifs, on peut élever au carré :
$x<4$.
Avec $x\geq 0$, solution : $[0 ; 4[$.

4 $\sqrt{x} \geq 0$
On a $x\geq 0$.
Or pour tout $x\geq 0$, on a toujours $\sqrt{x}\geq 0$.
Solution : $[0 ; +\infty[$.

👉 Petit conseil : quand tu élèves une inégalité au carré, assure-toi que les deux côtés sont bien positifs ou nuls.