La fonction inverse

Exercice 1

1 L'image de $2$ par la fonction $f$ est $\dfrac{1}{2}$.

👉 Petit conseil : pour la fonction inverse, l’image d’un nombre est toujours son inverse.

2 L'image de $\frac{3}{4}$ par la fonction $f$ est $\dfrac{1}{\frac{3}{4}} = \dfrac{4}{3}$.

👉 Petit conseil : diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse.

3 L'image de $-0,2$ par la fonction $f$ est $\dfrac{1}{-0,2} = -5$.

4 L'image de $-\frac{1}{7}$ par la fonction $f$ est $\dfrac{1}{-\frac{1}{7}} = -7$.

👉 Petit conseil : un nombre et son inverse ont toujours le même signe.

5 L'image de $10^6$ par la fonction $f$ est $\dfrac{1}{10^6} = 10^{-6}$.

6 L'image de $10^{-7}$ par la fonction $f$ est $\dfrac{1}{10^{-7}} = 10^7$.

👉 Petit conseil : pour les puissances de $10$, il suffit de changer le signe de l’exposant.

7 L'image de $\sqrt{2}$ par la fonction $f$ est $\dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$.

Exercice 2

1 $x \in [3 ; 5]$
La fonction inverse est décroissante sur l'intervalle $]0 ; +\infty[$.
Par conséquent $\dfrac{1}{x} \in \left[\dfrac{1}{5} ; \dfrac{1}{3}\right]$.

👉 Petit conseil : sur un intervalle positif, l’ordre s’inverse quand on prend les inverses.

2 $x \in ]-8 ; -3]$
La fonction inverse est décroissante sur l'intervalle $]-\infty ; 0[$.
Par conséquent $\dfrac{1}{x} \in \left[-\dfrac{1}{3} ; -\dfrac{1}{8}\right[$.

3 $x \in ]0 ; 7]$
La fonction inverse est décroissante sur l'intervalle $]0 ; +\infty[$.
Par conséquent $\dfrac{1}{x} \in \left[\dfrac{1}{7} ; +\infty\right[$.

4 $x \in ]-9 ; 0[$
La fonction inverse est décroissante sur l'intervalle $]-\infty ; 0[$.
Par conséquent $\dfrac{1}{x} \in \left]-\infty ; -\dfrac{1}{9}\right[$.

👉 Petit conseil : fais toujours attention aux bornes ouvertes ou fermées.

Exercice 3

1 $\dfrac{1}{x} \geq 5$

Le point d'intersection de la courbe avec la droite est $\dfrac{1}{5}$.
On s'intéresse donc aux abscisses des points de la partie en rouge.
La solution de cette inéquation est par conséquent $\left]0 ; \dfrac{1}{5}\right]$.

2 $\dfrac{1}{x} < 2$

Le point d'intersection de la courbe avec la droite est $\dfrac{1}{2} = 0,5$.
On s'intéresse donc aux abscisses des points de la partie en rouge.
La solution de cette inéquation est donc $]-\infty ; 0[ \cup ]0,5 ; +\infty[$.

3 $\dfrac{1}{x} \geq -2$

Le point d'intersection de la courbe avec la droite est $-\dfrac{1}{2} = -0,5$.
On s'intéresse donc aux abscisses des points de la partie en rouge.
La solution de cette inéquation est donc $]-\infty ; -0,5] \cup ]0 ; +\infty[$.

4 $\dfrac{1}{x} < 7$

Le point d'intersection de la courbe avec la droite est $\dfrac{1}{7}$.
On s'intéresse donc aux abscisses des points de la partie en rouge.
La solution de cette inéquation est donc $]-\infty ; 0[ \cup \left]\dfrac{1}{7} ; +\infty\right[$.

👉 Petit conseil : commence toujours par repérer graphiquement les points d’intersection.

Exercice 4

1 $1,5$ et $2,1$
La fonction inverse est décroissante sur $]0 ; +\infty[$.
Or $1,5 < 2,1$ par conséquent $\dfrac{1}{1,5} > \dfrac{1}{2,1}$.

2 $-0,5$ et $-2$
La fonction inverse est décroissante sur $]-\infty ; 0[$.
Or $-0,5 > -2$ par conséquent $\dfrac{1}{-0,5} < \dfrac{1}{-2}$.

3 $-3,4$ et $5$
Un nombre et son inverse ont le même signe.
Or $-3,4 < 0$ et $5 > 0$.
Par conséquent $\dfrac{1}{-3,4} < 0$ et $\dfrac{1}{5} > 0$. Donc $\dfrac{1}{-3,4} < \dfrac{1}{5}$.

4 $\sqrt{2}$ et $\sqrt{5}$
La fonction inverse est décroissante sur $]0 ; +\infty[$.
Or $\sqrt{2} < \sqrt{5}$ donc $\dfrac{1}{\sqrt{2}} > \dfrac{1}{\sqrt{5}}$.

5 $-3$ et $3$
Un nombre et son inverse ont le même signe.
Or $-3 < 0$ et $3 > 0$.
Par conséquent $\dfrac{1}{-3} < 0$ et $\dfrac{1}{3} > 0$. Donc $\dfrac{1}{-3} < \dfrac{1}{3}$.

👉 Petit conseil : commence toujours par comparer les nombres avant de comparer leurs inverses.

Exercice 5

Exercices sur la fonction inverse : image 5

L'abscisse du point d'intersection de ces deux courbes vérifie $f(x) = g(x)$.
Soit $\dfrac{1}{x} = 2 - x$.
Par conséquent $\dfrac{1}{x} - 2 + x = 0$.
Ou encore $\dfrac{1 - 2x + x^2}{x} = 0$.
C'est-à-dire $\dfrac{(x - 1)^2}{x} = 0$.
Donc $x = 1$.
Or $f(1) = \dfrac{1}{1} = 1$.

Par conséquent le point d'intersection des deux courbes a pour coordonnées $(1 ; 1)$.

👉 Petit conseil : une fraction est nulle uniquement si son numérateur est nul.