La fonction cube

Exercice 1

On considère la fonction cube $f$ définie par $f(x)=x^3$.

Dans chacun des cas suivants, déterminer l’image du nombre donné par la fonction $f$.

👉 Petit conseil : pour la fonction cube, le signe du nombre est conservé, contrairement à la fonction carré.

1 $-2$
$f(-2)=(-2)^3=-8$.

2 $-1$
$f(-1)=(-1)^3=-1$.

3 $0$
$f(0)=0^3=0$.

4 $2$
$f(2)=2^3=8$.

5 $-0{,}5$
$f(-0{,}5)=(-0{,}5)^3=-0{,}125$.

6 $3$
$f(3)=3^3=27$.

7 $\sqrt{2}$
$f(\sqrt{2})=(\sqrt{2})^3=\sqrt{2}\times\sqrt{2}\times\sqrt{2}=2\sqrt{2}$.

👉 Petit conseil : pour les racines, commence par regrouper deux facteurs identiques.

Exercice 2

Dans chacun des cas suivants, comparer les nombres proposés en utilisant la fonction cube.

👉 Petit conseil : la fonction cube est croissante sur $\mathbb R$ tout entier, donc l’ordre est toujours conservé.

1 $(-2)^3$ et $(-1)^3$
Comme $-2<-1$, alors $(-2)^3<(-1)^3$.

2 $(-3)^3$ et $2^3$
Comme $-3<2$, alors $(-3)^3<2^3$.

3 $0{,}5^3$ et $1^3$
Comme $0{,}5<1$, alors $0{,}5^3<1^3$.

4 $(-1)^3$ et $(0)^3$
Comme $-1<0$, alors $(-1)^3<(0)^3$.

👉 Petit conseil : contrairement à la fonction carré, on ne change jamais le sens de l’inégalité.

Exercice 3

Dans chacun des cas suivants, déterminer un encadrement de $x^3$.

👉 Petit conseil : si $a\leq x\leq b$, alors $a^3\leq x^3\leq b^3$.

1 $x \in [-2 ; 1]$
On a $(-2)^3\leq x^3\leq 1^3$.
Donc $-8\leq x^3\leq 1$.

2 $x \in [0 ; 3]$
On a $0^3\leq x^3\leq 3^3$.
Donc $0\leq x^3\leq 27$.

3 $x \in [-3 ; -1]$
On a $(-3)^3\leq x^3\leq (-1)^3$.
Donc $-27\leq x^3\leq -1$.

👉 Petit conseil : même sur les nombres négatifs, l’ordre est conservé.

Exercice 4

Résoudre dans $\mathbb R$ les inéquations suivantes.

👉 Petit conseil : comme la fonction cube est strictement croissante sur $\mathbb R$, on peut enlever le cube sans changer le sens de l’inégalité.

1 $x^3 \geq 8$
$x\geq 2$.
Solution : $[2 ; +\infty[$.

2 $x^3 \leq -1$
$x\leq -1$.
Solution : $]-\infty ; -1]$.

3 $x^3 < 0$
$x<0$.
Solution : $]-\infty ; 0[$.

4 $x^3 \geq 0$
$x\geq 0$.
Solution : $[0 ; +\infty[$.

👉 Petit conseil : avec une fonction croissante, résoudre une inéquation devient très rapide.

Exercice 5

On considère la fonction $f$ définie par $f(x)=x^3$.

1 Compléter le tableau suivant :

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline x & -3 & -1 & 0 & 1 & 3 \\ \hline f(x)=x^3 & & & & & \\ \hline \end{array}$

On calcule :
$f(-3)=(-3)^3=-27$
$f(-1)=(-1)^3=-1$
$f(0)=0^3=0$
$f(1)=1^3=1$
$f(3)=3^3=27$

Tableau complété :

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline x & -3 & -1 & 0 & 1 & 3 \\ \hline f(x)=x^3 & -27 & -1 & 0 & 1 & 27 \\ \hline \end{array}$

2 Classer les antécédents dans l’ordre croissant.
$-3 < -1 < 0 < 1 < 3$.

3 Que peux-tu dire de l’ordre des images ?
$-27 < -1 < 0 < 1 < 27$.

4 Qu’en déduis-tu sur l’ordre ?
L’ordre est conservé entre les antécédents et leurs images.

👉 Petit conseil : c’est une propriété clé de la fonction cube à bien retenir.